Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Исследуйте на чётность функцию:
1) \( f(x) = \frac{x}{x} \);
2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \);
3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \);
4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \);
5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);
6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \).
1) \( f(x) = \frac{x}{x} \);
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \frac{-x}{-x} = \frac{x}{x} = f(x) \);
Ответ: чётная.
2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \);
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \);
Область определения не симметрична:
\( f(-x) = \frac{-x — 1}{-x — 1} = \frac{x — 1}{x — 1} = f(x) \);
Ответ: ни четная, ни нечетная
3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \);
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = f(x) \);
Ответ: чётная.
4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \);
Выражение имеет смысл при: \( |x| \ge 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \);
Область определения симметрична:
\( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = f(x) \);
Ответ: чётная.
5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);
Выражение имеет смысл при: \( x \ge 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = [1; +\infty) \);
Область определения не симметрична:
\( f(-x) = \sqrt{-x — 1} \cdot \sqrt{-x + 1} = -f(x) \);
Ответ: ни четная, ни нечетная
6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \);
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \);
Область определения не симметрична:
\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — (-x)^2}{(-x)^3 — (-x)} = -f(x) \);
Ответ: ни четная, ни нечетная
1) \( f(x) = \frac{x}{x} \)
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)
Область определения симметрична относительно начала координат, так как при подстановке \( -x \) вместо \( x \) получаем:
\( f(-x) = \frac{-x}{-x} = \frac{x}{x} = f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \frac{x}{x} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).
2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \)
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \)
Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:
\( f(-x) = \frac{-x — 1}{-x — 1} = \frac{x — 1}{x — 1} = f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно оси \( y \).
3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \)
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \)
Область определения симметрична относительно начала координат. Подставим \( -x \) в функцию:
\( f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).
4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \)
Выражение имеет смысл при: \( |x| \ge 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \)
Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:
\( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).
5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \)
Выражение имеет смысл при: \( x \ge 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = [1; +\infty) \)
Область определения не симметрична относительно начала координат, так как функция определена только для \( x \ge 1 \). Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:
\( f(-x) = \sqrt{-x — 1} \cdot \sqrt{-x + 1} = -f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно начала координат.
6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \)
Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \);
Область определения функции:
\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \)
Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:
\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — (-x)^2}{(-x)^3 — (-x)} = -f(x) \)
Ответ: функция \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно начала координат.
