ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1) \( f(x) = \frac{x}{x} \);

2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \);

3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \);

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \);

5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);

6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \).

1) \( f(x) = \frac{x}{x} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \frac{-x}{-x} = \frac{x}{x} = f(x) \);

Ответ: чётная.

2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \);

Область определения не симметрична:

\( f(-x) = \frac{-x — 1}{-x — 1} = \frac{x — 1}{x — 1} = f(x) \);

Ответ: ни четная, ни нечетная

3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = f(x) \);

Ответ: чётная.

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \);

Выражение имеет смысл при: \( |x| \ge 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \);

Область определения симметрична:

\( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = f(x) \);

Ответ: чётная.

5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \ge 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = [1; +\infty) \);

Область определения не симметрична:

\( f(-x) = \sqrt{-x — 1} \cdot \sqrt{-x + 1} = -f(x) \);

Ответ: ни четная, ни нечетная

6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \);

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \);

Область определения не симметрична:

\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — (-x)^2}{(-x)^3 — (-x)} = -f(x) \);

Ответ: ни четная, ни нечетная

1) \( f(x) = \frac{x}{x} \)

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) \)

Область определения симметрична относительно начала координат, так как при подстановке \( -x \) вместо \( x \) получаем:

\( f(-x) = \frac{-x}{-x} = \frac{x}{x} = f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \frac{x}{x} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).

2) \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \)

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \)

Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:

\( f(-x) = \frac{-x — 1}{-x — 1} = \frac{x — 1}{x — 1} = f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \frac{x — 1}{x — 1} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно оси \( y \).

3) \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \)

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 1 \) и \( x \neq -1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty) \)

Область определения симметрична относительно начала координат. Подставим \( -x \) в функцию:

\( f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 — 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} = f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 — 1} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).

4) \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \)

Выражение имеет смысл при: \( |x| \ge 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \)

Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:

\( f(-x) = \sqrt{(-x)^2 — 1} = \sqrt{x^2 — 1} = f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \sqrt{x^2 — 1} \) является чётной, так как её график симметричен относительно оси \( y \).

5) \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \)

Выражение имеет смысл при: \( x \ge 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = [1; +\infty) \)

Область определения не симметрична относительно начала координат, так как функция определена только для \( x \ge 1 \). Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:

\( f(-x) = \sqrt{-x — 1} \cdot \sqrt{-x + 1} = -f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно начала координат.

6) \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \)

Выражение имеет смысл при: \( x \neq 0 \), \( x \neq 1 \);

Область определения функции:

\( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) \)

Область определения симметрична относительно начала координат. Рассмотрим подстановку \( -x \) в функцию:

\( f(-x) = \frac{(-x)^3 — (-x)^2}{(-x)^3 — (-x)} = -f(x) \)

Ответ: функция \( f(x) = \frac{x^3 — x^2}{x^3 — x} \) является ни чётной, ни нечётной, так как её график не симметричен относительно начала координат.