ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию:

1) \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \);

2) \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \);

3) \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \);

4) \( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12} \).

1) \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \)

Решение:

1. Подставим \( -x \): \( f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) — 4 = x^2 — 2x — 4 \).
2. Сравнивая с \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \), получаем \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \).
3. Функция ни чётная, ни нечётная.

2) \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \)

Решение:

1. Подставим \( -x \): \( f(-x) = \frac{6(-x)^3}{(-x)^2 — 9} = \frac{-6x^3}{x^2 — 9} = -f(x) \).
2. Функция нечётная.

3) \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \)

Решение:

1. Подставим \( -x \): \( f(-x) = \frac{1}{1 — (-x)} + \frac{1}{1 + (-x)} = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 — x} \).
2. Получаем \( f(-x) = f(x) \), значит функция чётная.

4) \( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12} \)

Решение:

1. Подставим \( -x \): \( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 6(-x)}{2(-x) + 12} = \frac{x^2 — 6x}{-2x + 12} = \frac{x^2 — 6x}{-2(x — 6)} \).
2. Выражение не совпадает с \( f(x) \) и не равно \( -f(x) \), значит функция ни чётная, ни нечётная.

Ответ:

1. \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \) — ни чётная, ни нечётная.
2. \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \) — нечётная.
3. \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \) — чётная.
4. \( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12} \) — ни чётная, ни нечётная.

1) \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \)

Решение:

1. Определяем, является ли функция чётной или нечётной. Для этого необходимо вычислить \( f(-x) \) и сравнить его с \( f(x) \) и \( -f(x) \).
2. Подставляем \( -x \) в исходное выражение: \( f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) — 4 = x^2 — 2x — 4 \). Здесь мы использовали, что \( (-x)^2 = x^2 \), а при умножении \( 2(-x) \) получаем \( -2x \).
3. Сравниваем: исходная функция \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \), а полученное выражение \( f(-x) = x^2 — 2x — 4 \). Так как \( f(-x) \neq f(x) \), функция не является чётной.
4. Проверка на нечётность: находим \( -f(x) = -(x^2 + 2x — 4) = -x^2 — 2x + 4 \). Сравниваем с \( f(-x) = x^2 — 2x — 4 \). Выражения не совпадают, значит, условие \( f(-x) = -f(x) \) не выполняется.
5. Вывод: функция \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \) не является ни чётной, ни нечётной, так как не выполняется ни одно из условий.

2) \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \)

Решение:

1. Подставляем \( -x \) в выражение: \( f(-x) = \frac{6(-x)^3}{(-x)^2 — 9} \).
2. В числителе \( 6(-x)^3 = -6x^3 \), так как куб числа с отрицательным знаком даёт отрицательное значение. В знаменателе \( (-x)^2 = x^2 \), поэтому \( (-x)^2 — 9 = x^2 — 9 \).
3. Получаем: \( f(-x) = \frac{-6x^3}{x^2 — 9} \).
4. Сравниваем с \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \). Видно, что \( f(-x) = -f(x) \), следовательно, функция является нечётной.
5. Условие верно для всех значений \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю, то есть \( x \neq \pm 3 \).

3) \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \)

Решение:

1. Подставляем \( -x \) в выражение: \( f(-x) = \frac{1}{1 — (-x)} + \frac{1}{1 + (-x)} \).
2. В первой дроби: \( 1 — (-x) = 1 + x \), во второй дроби: \( 1 + (-x) = 1 — x \).
3. Получаем: \( f(-x) = \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 — x} \).
4. Переставив слагаемые, видим, что это то же самое, что и \( f(x) \), так как сложение коммутативно: \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \).
5. Значит, \( f(-x) = f(x) \), и функция является чётной при \( x \neq \pm 1 \).

4) \( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12} \)

Решение:

1. Сначала определим область определения функции. Знаменатель \( 2x + 12 \neq 0 \), отсюда \( 2x \neq -12 \), и \( x \neq -6 \).
2. Подставим \( -x \): \( f(-x) = \frac{(-x)^2 + 6(-x)}{2(-x) + 12} = \frac{x^2 — 6x}{-2x + 12} \).
3. В знаменателе можно вынести минус: \( -2x + 12 = -2(x — 6) \), но это не приведёт к совпадению с исходной функцией, так как числитель тоже не меняется на противоположный полностью.
4. Сравнение: \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \), следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
5. Кроме того, область определения \( D(f) = (-\infty; -6) \cup (-6; +\infty) \) не симметрична относительно начала координат, что подтверждает отсутствие чётности или нечётности.

Окончательный ответ:

1. \( f(x) = x^2 + 2x — 4 \) — ни чётная, ни нечётная.
2. \( f(x) = \frac{6x^3}{x^2 — 9} \) — нечётная.
3. \( f(x) = \frac{1}{1 — x} + \frac{1}{1 + x} \) — чётная.
4. \( f(x) = \frac{x^2 + 6x}{2x + 12} \) — ни чётная, ни нечётная.