ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сумма двух чисел равна 8. Найдите:

1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;

2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.

Решение:

Пусть два числа обозначаются как \( x \) и \( y \), при этом их сумма равна 8, то есть:
\( x + y = 8 \).

1) Необходимо найти наибольшее значение произведения этих чисел.

Выразим одно число через другое: \( y = 8 — x \).

Произведение чисел:
\( F(x) = x \cdot y = x \cdot (8 — x) = 8x — x^2 \).

Это квадратичная функция. Для нахождения её наибольшего значения используем вершину параболы. Для функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) абсцисса вершины:
\( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 8 \).

Подставим значения:
\( x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4 \).

Наибольшее значение произведения при \( x = 4 \). Подставим:
\( F(4) = 8 \cdot 4 — (4)^2 = 32 — 16 = 16 \).

Ответ: наибольшее произведение равно \( 16 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).

2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.

Сумма квадратов:
\( F(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2 \).

Раскроем скобки:
\( F(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64 \).

Это квадратичная функция, её минимальное значение достигается в вершине:
\( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -16 \).

Подставим:
\( x = -\frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \).

Минимум при \( x = 4 \). Подставим:
\( F(4) = 2 \cdot (4)^2 — 16 \cdot 4 + 64 = 2 \cdot 16 — 64 + 64 = 32 \).

Ответ: наименьшая сумма квадратов равна \( 32 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).

Решение:

Пусть два числа обозначаются как \( x \) и \( y \), и известно, что их сумма равна 8. То есть:
\( x + y = 8 \).

1) Найдём наибольшее значение произведения этих чисел.

Для начала выразим одно из чисел через другое. Например, из уравнения \( x + y = 8 \) выразим \( y \):
\( y = 8 — x \).

Теперь произведение этих чисел будет:
\( P(x) = x \cdot y = x \cdot (8 — x) = 8x — x^2 \).

Это квадратичная функция, и чтобы найти её наибольшее значение, необходимо найти вершину параболы. Функция вида \( f(x) = ax^2 + bx + c \) имеет вершину, абсцисса которой определяется по формуле:
\( x = -\frac{b}{2a} \),
где \( a = -1 \) — коэффициент перед \( x^2 \), а \( b = 8 \) — коэффициент при \( x \).

Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины:
\( x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4 \).

Таким образом, абсцисса вершины параболы — это \( x = 4 \), что означает, что наибольшее значение произведения этих чисел достигается при \( x = 4 \).

Подставим это значение \( x = 4 \) в выражение для произведения:
\( P(4) = 8 \cdot 4 — (4)^2 = 32 — 16 = 16 \).

Ответ: наибольшее значение произведения равно \( 16 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).

2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.

Сумма квадратов чисел будет выражаться как:
\( S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2 \).

Раскроем скобки и упростим выражение:
\( S(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64 \).

Теперь у нас есть квадратичная функция, которая принимает минимальное значение в вершине параболы. Для нахождения абсциссы вершины также используем формулу для вершины параболы:
\( x = -\frac{b}{2a} \),
где \( a = 2 \), \( b = -16 \) — коэффициенты функции \( S(x) = 2x^2 — 16x + 64 \).

Подставим значения в формулу для нахождения \( x \):
\( x = -\frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \).

Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов чисел будет достигаться при \( x = 4 \).

Подставим \( x = 4 \) в выражение для суммы квадратов:
\( S(4) = 2 \cdot (4)^2 — 16 \cdot 4 + 64 = 2 \cdot 16 — 64 + 64 = 32 \).

Ответ: наименьшее значение суммы квадратов этих чисел равно \( 32 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).

Вывод:

• Наибольшее произведение чисел \( x \) и \( y \) равно \( 16 \), и это происходит, когда оба числа равны 4.
• Наименьшая сумма квадратов этих чисел равна \( 32 \), когда оба числа равны 4.
• Таким образом, в обоих случаях оптимальные значения для чисел \( x \) и \( y \) равны 4.