Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сумма двух чисел равна 8. Найдите:
1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;
2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.
Решение:
Пусть два числа обозначаются как \( x \) и \( y \), при этом их сумма равна 8, то есть:
\( x + y = 8 \).
1) Необходимо найти наибольшее значение произведения этих чисел.
Выразим одно число через другое: \( y = 8 — x \).
Произведение чисел:
\( F(x) = x \cdot y = x \cdot (8 — x) = 8x — x^2 \).
Это квадратичная функция. Для нахождения её наибольшего значения используем вершину параболы. Для функции \( f(x) = ax^2 + bx + c \) абсцисса вершины:
\( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = 8 \).
Подставим значения:
\( x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4 \).
Наибольшее значение произведения при \( x = 4 \). Подставим:
\( F(4) = 8 \cdot 4 — (4)^2 = 32 — 16 = 16 \).
Ответ: наибольшее произведение равно \( 16 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).
2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.
Сумма квадратов:
\( F(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2 \).
Раскроем скобки:
\( F(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64 \).
Это квадратичная функция, её минимальное значение достигается в вершине:
\( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 2 \), \( b = -16 \).
Подставим:
\( x = -\frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \).
Минимум при \( x = 4 \). Подставим:
\( F(4) = 2 \cdot (4)^2 — 16 \cdot 4 + 64 = 2 \cdot 16 — 64 + 64 = 32 \).
Ответ: наименьшая сумма квадратов равна \( 32 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).
Решение:
Пусть два числа обозначаются как \( x \) и \( y \), и известно, что их сумма равна 8. То есть:
\( x + y = 8 \).
1) Найдём наибольшее значение произведения этих чисел.
Для начала выразим одно из чисел через другое. Например, из уравнения \( x + y = 8 \) выразим \( y \):
\( y = 8 — x \).
Теперь произведение этих чисел будет:
\( P(x) = x \cdot y = x \cdot (8 — x) = 8x — x^2 \).
Это квадратичная функция, и чтобы найти её наибольшее значение, необходимо найти вершину параболы. Функция вида \( f(x) = ax^2 + bx + c \) имеет вершину, абсцисса которой определяется по формуле:
\( x = -\frac{b}{2a} \),
где \( a = -1 \) — коэффициент перед \( x^2 \), а \( b = 8 \) — коэффициент при \( x \).
Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины:
\( x = -\frac{8}{2 \cdot (-1)} = \frac{8}{2} = 4 \).
Таким образом, абсцисса вершины параболы — это \( x = 4 \), что означает, что наибольшее значение произведения этих чисел достигается при \( x = 4 \).
Подставим это значение \( x = 4 \) в выражение для произведения:
\( P(4) = 8 \cdot 4 — (4)^2 = 32 — 16 = 16 \).
Ответ: наибольшее значение произведения равно \( 16 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).
2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.
Сумма квадратов чисел будет выражаться как:
\( S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2 \).
Раскроем скобки и упростим выражение:
\( S(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64 \).
Теперь у нас есть квадратичная функция, которая принимает минимальное значение в вершине параболы. Для нахождения абсциссы вершины также используем формулу для вершины параболы:
\( x = -\frac{b}{2a} \),
где \( a = 2 \), \( b = -16 \) — коэффициенты функции \( S(x) = 2x^2 — 16x + 64 \).
Подставим значения в формулу для нахождения \( x \):
\( x = -\frac{-16}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 \).
Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов чисел будет достигаться при \( x = 4 \).
Подставим \( x = 4 \) в выражение для суммы квадратов:
\( S(4) = 2 \cdot (4)^2 — 16 \cdot 4 + 64 = 2 \cdot 16 — 64 + 64 = 32 \).
Ответ: наименьшее значение суммы квадратов этих чисел равно \( 32 \), когда \( x = 4 \) и \( y = 8 — 4 = 4 \).
Вывод:
- Наибольшее произведение чисел \( x \) и \( y \) равно \( 16 \), и это происходит, когда оба числа равны 4.
- Наименьшая сумма квадратов этих чисел равна \( 32 \), когда оба числа равны 4.
- Таким образом, в обоих случаях оптимальные значения для чисел \( x \) и \( y \) равны 4.
