Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.24 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Сумма двух чисел равна 8. Найдите:
1) какое наибольшее значение может принимать произведение этих чисел;
2) какое наименьшее значение может принимать сумма квадратов этих чисел.
Решение:
Пусть два числа обозначаются как x и y, при этом их сумма равна 8, то есть:
x + y = 8.
1) Необходимо найти наибольшее значение произведения этих чисел.
Для начала выразим одно число через другое. Пусть y = 8 — x.
Теперь произведение чисел будет:
F(x) = x * y = x * (8 — x) = 8x — x^2.
Это квадратичная функция, и для нахождения её наибольшего значения нужно найти вершину параболы. Для квадратичной функции f(x) = ax^2 + bx + c абсцисса вершины находится по формуле:
x = -b / (2a),
где a = -1, b = 8.
Подставим значения:
x = -8 / (2 * -1) = 8 / 2 = 4.
Таким образом, наибольшее значение произведения достигается при x = 4. Подставим это значение в выражение для произведения:
F(4) = 8(4) — (4)^2 = 32 — 16 = 16.
Ответ: наибольшее произведение равно 16, когда x = 4 и y = 8 — 4 = 4.
2) Теперь найдем наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.
Сумма квадратов чисел будет выражаться как:
F(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2.
Раскроем скобки:
F(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64.
Это также квадратичная функция, и для нахождения её наименьшего значения нужно найти вершину параболы. Для квадратичной функции f(x) = ax^2 + bx + c абсцисса вершины находится по формуле:
x = -b / (2a),
где a = 2, b = -16.
Подставим значения:
x = -(-16) / (2 * 2) = 16 / 4 = 4.
Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов достигается при x = 4. Подставим это значение в выражение для суммы квадратов:
F(4) = 2(4)^2 — 16(4) + 64 = 2(16) — 64 + 64 = 32 — 64 + 64 = 32.
Ответ: наименьшая сумма квадратов равна 32, когда x = 4 и y = 8 — 4 = 4.
Решение:
Пусть два числа обозначаются как x и y, и известно, что их сумма равна 8. То есть:
x + y = 8.
1) Найдём наибольшее значение произведения этих чисел.
Для начала выразим одно из чисел через другое. Например, из уравнения x + y = 8 выразим y:
y = 8 — x.
Теперь произведение этих чисел будет:
P(x) = x * y = x * (8 — x) = 8x — x^2.
Это квадратичная функция, и чтобы найти её наибольшее значение, необходимо найти вершину параболы. Функция вида f(x) = ax^2 + bx + c имеет вершину, абсцисса которой определяется по формуле:
x = -b / (2a),
где a = -1 — коэффициент перед x^2, а b = 8 — коэффициент при x.
Подставим эти значения в формулу для нахождения абсциссы вершины:
x = -8 / (2 * -1) = 8 / 2 = 4.
Таким образом, абсцисса вершины параболы — это x = 4, что означает, что наибольшее значение произведения этих чисел достигается при x = 4.
Подставим это значение x = 4 в выражение для произведения:
P(4) = 8(4) — (4)^2 = 32 — 16 = 16.
Ответ: наибольшее значение произведения равно 16, когда x = 4 и y = 8 — 4 = 4.
2) Найдём наименьшее значение суммы квадратов этих чисел.
Сумма квадратов чисел будет выражаться как:
S(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (8 — x)^2.
Раскроем скобки и упростим выражение:
S(x) = x^2 + (64 — 16x + x^2) = 2x^2 — 16x + 64.
Теперь у нас есть квадратичная функция, которая принимает минимальное значение в вершине параболы. Для нахождения абсциссы вершины также используем формулу для вершины параболы:
x = -b / (2a),
где a = 2, b = -16 — коэффициенты функции S(x) = 2x^2 — 16x + 64.
Подставим значения в формулу для нахождения x:
x = -(-16) / (2 * 2) = 16 / 4 = 4.
Таким образом, наименьшее значение суммы квадратов чисел будет достигаться при x = 4.
Подставим x = 4 в выражение для суммы квадратов:
S(4) = 2(4)^2 — 16(4) + 64 = 2(16) — 64 + 64 = 32 — 64 + 64 = 32.
Ответ: наименьшее значение суммы квадратов этих чисел равно 32, когда x = 4 и y = 8 — 4 = 4.
Вывод:
- Наибольшее произведение чисел x и y равно 16, и это происходит, когда оба числа равны 4.
- Наименьшая сумма квадратов этих чисел равна 32, когда оба числа равны 4.
- Таким образом, в обоих случаях оптимальные значения для чисел x и y равны 4.
Алгебра
