Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.28 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Область определения функции f симметрична относительно начала координат. Докажите, что функция g(x)=f(x)+f(-x) чётная, а функция h(x)=f(x)-f(-x) нечётная.
Решение:
Дана функция f, область определения которой симметрична относительно начала координат, то есть для всех значений x из области определения функции f существует соответствующее значение -x. Нам нужно доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) чётная, а функция h(x) = f(x) — f(-x) нечётная.
1. Доказательство, что функция g(x) чётная:
Чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) чётная, нам нужно показать, что для всех значений x выполняется условие g(-x) = g(x).
Рассмотрим выражение для g(-x):
g(-x) = f(-x) + f(x).
Поменяв местами слагаемые, получаем:
g(-x) = f(x) + f(-x).
Таким образом, g(-x) = g(x), что означает, что функция g(x) чётная.
2. Доказательство, что функция h(x) нечётная:
Теперь докажем, что функция h(x) = f(x) — f(-x) нечётная. Для этого нужно показать, что для всех значений x выполняется условие h(-x) = -h(x).
Рассмотрим выражение для h(-x):
h(-x) = f(-x) — f(x).
Мы видим, что h(-x) = — (f(x) — f(-x)) = -h(x), так как минус перед скобками меняет знаки обоих слагаемых в выражении для h(x).
Таким образом, h(-x) = -h(x), что означает, что функция h(x) нечётная.
Ответ: Мы доказали, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной, если область определения функции f симметрична относительно начала координат.
Решение:
Нам дана функция f, область определения которой симметрична относительно начала координат. Это означает, что для каждого значения x, принадлежащего области определения функции f, существует соответствующее значение -x, также принадлежащее области определения функции. Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной.
1. Доказательство, что функция g(x) чётная:
Для того чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, нам нужно показать, что для всех значений переменной x выполняется условие: g(-x) = g(x).
Рассмотрим функцию g(x) = f(x) + f(-x) и подставим в неё -x:
g(-x) = f(-x) + f(x).
Теперь, заметим, что сложение является коммутативной операцией, то есть порядок слагаемых можно менять без изменения результата. Поэтому:
g(-x) = f(x) + f(-x).
Таким образом, мы видим, что g(-x) = g(x), что и требовалось доказать. Это подтверждает, что функция g(x) является чётной, так как для всех значений x выполняется условие симметрии относительно оси y.
2. Доказательство, что функция h(x) нечётная:
Теперь перейдём ко второй функции, которая задаётся выражением h(x) = f(x) — f(-x). Нам нужно доказать, что функция h(x) является нечётной. Для этого нужно показать, что для всех значений переменной x выполняется условие: h(-x) = -h(x).
Рассмотрим выражение для h(-x):
h(-x) = f(-x) — f(x).
Мы видим, что для h(-x) в результате подстановки -x в выражение для функции h(x) меняется знак между слагаемыми. Теперь применим свойство, что минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:
h(-x) = — (f(x) — f(-x)) = -h(x).
Таким образом, мы получили, что h(-x) = -h(x), что и доказывает, что функция h(x) является нечётной. Это означает, что график функции h(x) обладает симметрией относительно начала координат.
3. Пояснение:
Для доказательства того, что функции g(x) = f(x) + f(-x) и h(x) = f(x) — f(-x) являются чётной и нечётной соответственно, мы использовали основные определения чётных и нечётных функций. Эти определения основываются на симметрии графиков функций относительно оси y для чётных функций и относительно начала координат (0, 0) для нечётных функций.
В случае функции g(x) = f(x) + f(-x) операция сложения не изменяет симметрию функции, а следовательно, график функции остаётся симметричным относительно оси y, что делает её чётной. В случае функции h(x) = f(x) — f(-x) операция вычитания сохраняет симметрию относительно начала координат, что делает её нечётной.
Ответ: Мы доказали, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной, если область определения функции f симметрична относительно начала координат.
Алгебра
