ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.28 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Область определения функции \( f \) симметрична относительно начала координат. Докажите, что функция \( g(x) = f(x) + f(-x) \) чётная, а функция \( h(x) = f(x) — f(-x) \) нечётная.

Решение:

Дана функция f, область определения которой симметрична относительно начала координат, то есть для всех значений x из области определения функции f существует соответствующее значение -x. Нам нужно доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) чётная, а функция h(x) = f(x) — f(-x) нечётная.

1. Доказательство, что функция g(x) чётная:

Чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) чётная, нам нужно показать, что для всех значений x выполняется условие g(-x) = g(x).

Рассмотрим выражение для g(-x):

g(-x) = f(-x) + f(x).

Поменяв местами слагаемые, получаем:

g(-x) = f(x) + f(-x).

Таким образом, g(-x) = g(x), что означает, что функция g(x) чётная.

2. Доказательство, что функция h(x) нечётная:

Теперь докажем, что функция h(x) = f(x) — f(-x) нечётная. Для этого нужно показать, что для всех значений x выполняется условие h(-x) = -h(x).

Рассмотрим выражение для h(-x):

h(-x) = f(-x) — f(x).

Мы видим, что h(-x) = — (f(x) — f(-x)) = -h(x), так как минус перед скобками меняет знаки обоих слагаемых в выражении для h(x).

Таким образом, h(-x) = -h(x), что означает, что функция h(x) нечётная.

Ответ: Мы доказали, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной, если область определения функции f симметрична относительно начала координат.

Решение:

Нам дана функция f, область определения которой симметрична относительно начала координат. Это означает, что для каждого значения x, принадлежащего области определения функции f, существует соответствующее значение -x, также принадлежащее области определения функции. Вопрос состоит в том, чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной.

1. Доказательство, что функция g(x) чётная:

Для того чтобы доказать, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, нам нужно показать, что для всех значений переменной x выполняется условие: g(-x) = g(x).

Рассмотрим функцию g(x) = f(x) + f(-x) и подставим в неё -x:

g(-x) = f(-x) + f(x).

Теперь, заметим, что сложение является коммутативной операцией, то есть порядок слагаемых можно менять без изменения результата. Поэтому:

g(-x) = f(x) + f(-x).

Таким образом, мы видим, что g(-x) = g(x), что и требовалось доказать. Это подтверждает, что функция g(x) является чётной, так как для всех значений x выполняется условие симметрии относительно оси y.

2. Доказательство, что функция h(x) нечётная:

Теперь перейдём ко второй функции, которая задаётся выражением h(x) = f(x) — f(-x). Нам нужно доказать, что функция h(x) является нечётной. Для этого нужно показать, что для всех значений переменной x выполняется условие: h(-x) = -h(x).

Рассмотрим выражение для h(-x):

h(-x) = f(-x) — f(x).

Мы видим, что для h(-x) в результате подстановки -x в выражение для функции h(x) меняется знак между слагаемыми. Теперь применим свойство, что минус перед скобками меняет знак каждого слагаемого внутри:

h(-x) = — (f(x) — f(-x)) = -h(x).

Таким образом, мы получили, что h(-x) = -h(x), что и доказывает, что функция h(x) является нечётной. Это означает, что график функции h(x) обладает симметрией относительно начала координат.

3. Пояснение:

Для доказательства того, что функции g(x) = f(x) + f(-x) и h(x) = f(x) — f(-x) являются чётной и нечётной соответственно, мы использовали основные определения чётных и нечётных функций. Эти определения основываются на симметрии графиков функций относительно оси y для чётных функций и относительно начала координат (0, 0) для нечётных функций.

В случае функции g(x) = f(x) + f(-x) операция сложения не изменяет симметрию функции, а следовательно, график функции остаётся симметричным относительно оси y, что делает её чётной. В случае функции h(x) = f(x) — f(-x) операция вычитания сохраняет симметрию относительно начала координат, что делает её нечётной.

Ответ: Мы доказали, что функция g(x) = f(x) + f(-x) является чётной, а функция h(x) = f(x) — f(-x) является нечётной, если область определения функции f симметрична относительно начала координат.