ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.29 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Областью определения чётных функций \( f \) и \( g \) является множество \( M \). Исследуйте на чётность функцию:

1) \( y = f(x) + g(x) \);

2) \( y = f(x) — g(x) \);

3) \( y = f(x) \cdot g(x) \).

Решение:

Даны две чётные функции f и g, область определения которых равна множеству M. Нам нужно исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x)
2. y = f(x) — g(x)
3. y = f(x) · g(x)

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Чтобы определить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Для чётной функции выполнено условие:

f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).

Теперь проверим, что происходит при подстановке -x в функцию y = f(x) + g(x):

y(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций также является чётной функцией.

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь проверим функцию y = f(x) — g(x). Для чётных функций выполняется условие:

f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).

Теперь подставим -x в функцию y = f(x) — g(x):

y(-x) = f(-x) — g(-x) = f(x) — g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что также подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является чётной. Разница двух чётных функций также является чётной функцией.

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь проверим функцию y = f(x) · g(x). Для чётных функций выполняется условие:

f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).

Подставим -x в функцию y = f(x) · g(x):

y(-x) = f(-x) · g(-x) = f(x) · g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) · g(x) также является чётной. Произведение двух чётных функций всегда является чётной функцией.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) является чётной.
2. Функция y = f(x) — g(x) является чётной.
3. Функция y = f(x) · g(x) является чётной.

Таким образом, сумма, разница и произведение двух чётных функций также являются чётными функциями.

Решение:

Пусть даны две чётные функции f и g, область определения которых является множеством M. Требуется исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x) — сумма двух чётных функций;
2. y = f(x) — g(x) — разница двух чётных функций;
3. y = f(x) · g(x) — произведение двух чётных функций.

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Для того чтобы доказать, что функция y = f(x) + g(x) чётная, нам необходимо показать, что выполняется условие чётности. Для чётных функций выполнены следующие свойства:

• f(-x) = f(x) для функции f(x),
• g(-x) = g(x) для функции g(x).

Теперь подставим в функцию y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:

y(-x) = f(-x) + g(-x).

Так как обе функции чётные, мы можем заменить f(-x) на f(x) и g(-x) на g(x). Получим:

y(-x) = f(x) + g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций является чётной функцией.

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы доказать её чётность, необходимо показать, что для всех значений переменной x выполняется условие:

y(-x) = y(x).

Для этого подставим в выражение для функции y = f(x) — g(x) значение -x:

y(-x) = f(-x) — g(-x).

Так как обе функции чётные, заменяем f(-x) на f(x) и g(-x) на g(x), получаем:

y(-x) = f(x) — g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является чётной. Следовательно, разница двух чётных функций также является чётной функцией.

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x), которая является произведением двух чётных функций. Для доказательства её чётности нужно показать, что выполняется условие:

y(-x) = y(x).

Для этого подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):

y(-x) = f(-x) · g(-x).

Поскольку f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x) для чётных функций, получаем:

y(-x) = f(x) · g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Таким образом, произведение двух чётных функций всегда будет чётной функцией.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) является чётной.
2. Функция y = f(x) — g(x) является чётной.
3. Функция y = f(x) · g(x) является чётной.

Таким образом, сумма, разница и произведение двух чётных функций всегда будут чётными функциями.

Пояснение:

• Для чётных функций выполнение условий симметрии относительно оси y означает, что функция остаётся неизменной при подстановке -x вместо x.
• Все операции (сложение, вычитание, умножение) между чётными функциями сохраняют чётность результата, так как при подстановке -x результат этих операций будет идентичен результату при x.