Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.29 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Областью определения чётных функций f и g является множество M. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=f(x)+g(x);
2) y=f(x)-g(x);
3) y=f(x)·g(x).
Решение:
Даны две чётные функции f и g, область определения которых равна множеству M. Нам нужно исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x)
- y = f(x) — g(x)
- y = f(x) · g(x)
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Чтобы определить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Для чётной функции выполнено условие:
f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).
Теперь проверим, что происходит при подстановке -x в функцию y = f(x) + g(x):
y(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций также является чётной функцией.
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь проверим функцию y = f(x) — g(x). Для чётных функций выполняется условие:
f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).
Теперь подставим -x в функцию y = f(x) — g(x):
y(-x) = f(-x) — g(-x) = f(x) — g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что также подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является чётной. Разница двух чётных функций также является чётной функцией.
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь проверим функцию y = f(x) · g(x). Для чётных функций выполняется условие:
f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x).
Подставим -x в функцию y = f(x) · g(x):
y(-x) = f(-x) · g(-x) = f(x) · g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) · g(x) также является чётной. Произведение двух чётных функций всегда является чётной функцией.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) является чётной.
- Функция y = f(x) — g(x) является чётной.
- Функция y = f(x) · g(x) является чётной.
Таким образом, сумма, разница и произведение двух чётных функций также являются чётными функциями.
Решение:
Пусть даны две чётные функции f и g, область определения которых является множеством M. Требуется исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x) — сумма двух чётных функций;
- y = f(x) — g(x) — разница двух чётных функций;
- y = f(x) · g(x) — произведение двух чётных функций.
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Для того чтобы доказать, что функция y = f(x) + g(x) чётная, нам необходимо показать, что выполняется условие чётности. Для чётных функций выполнены следующие свойства:
- f(-x) = f(x) для функции f(x),
- g(-x) = g(x) для функции g(x).
Теперь подставим в функцию y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:
y(-x) = f(-x) + g(-x).
Так как обе функции чётные, мы можем заменить f(-x) на f(x) и g(-x) на g(x). Получим:
y(-x) = f(x) + g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций является чётной функцией.
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы доказать её чётность, необходимо показать, что для всех значений переменной x выполняется условие:
y(-x) = y(x).
Для этого подставим в выражение для функции y = f(x) — g(x) значение -x:
y(-x) = f(-x) — g(-x).
Так как обе функции чётные, заменяем f(-x) на f(x) и g(-x) на g(x), получаем:
y(-x) = f(x) — g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является чётной. Следовательно, разница двух чётных функций также является чётной функцией.
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x), которая является произведением двух чётных функций. Для доказательства её чётности нужно показать, что выполняется условие:
y(-x) = y(x).
Для этого подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):
y(-x) = f(-x) · g(-x).
Поскольку f(-x) = f(x) и g(-x) = g(x) для чётных функций, получаем:
y(-x) = f(x) · g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Таким образом, произведение двух чётных функций всегда будет чётной функцией.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) является чётной.
- Функция y = f(x) — g(x) является чётной.
- Функция y = f(x) · g(x) является чётной.
Таким образом, сумма, разница и произведение двух чётных функций всегда будут чётными функциями.
Пояснение:
- Для чётных функций выполнение условий симметрии относительно оси y означает, что функция остаётся неизменной при подстановке -x вместо x.
- Все операции (сложение, вычитание, умножение) между чётными функциями сохраняют чётность результата, так как при подстановке -x результат этих операций будет идентичен результату при x.
Алгебра
