ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.30 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Областью определения чётной функции \( f \) и нечётной функции \( g \) является множество \( M \). Исследуйте на чётность функцию:

1) \( y = f(x) + g(x) \);

2) \( y = f(x) — g(x) \);

3) \( y = f(x) \cdot g(x) \).

Решение:

Даны две функции: f — чётная, и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Нам нужно исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
2. y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
3. y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) чётная, то есть для неё выполняется условие:

f(-x) = f(x).

Функция g(x) нечётная, то есть для неё выполняется условие:

g(-x) = -g(x).

Теперь проверим, что происходит при подстановке -x в функцию y = f(x) + g(x):

y(-x) = f(-x) + g(-x).

Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).

Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Чтобы проверить, чётна ли эта функция, нужно снова использовать свойства чётной и нечётной функций.

Подставим -x в функцию y = f(x) — g(x):

y(-x) = f(-x) — g(-x).

Как и в предыдущем случае, f(-x) = f(x), а g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).

Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) — g(x) также ни нечетная, ни нечетная

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь исследуем произведение функций y = f(x) · g(x). Для этого нужно подставить -x в выражение для функции y:

y(-x) = f(-x) · g(-x).

Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) · (-g(x)) = -f(x) · g(x) = -y(x).

Таким образом, y(-x) = -y(x), что означает, что функция y = f(x) · g(x) является нечётной.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
2. Функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная
3. Функция y = f(x) · g(x) является нечётной.

Таким образом, сумма или разница чётной и нечётной функции не является чётной, но произведение чётной и нечётной функции является нечётной функцией.

Решение:

Даны две функции: f — чётная и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Задача состоит в том, чтобы исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
2. y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
3. y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Чётность функции определяется тем, что для всех значений переменной x выполняется равенство:

f(-x) = f(x) для чётной функции f,

g(-x) = -g(x) для нечётной функции g.

Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:

y(-x) = f(-x) + g(-x).

Так как f(x) чётная функция, то f(-x) = f(x), а поскольку g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x). Получаем:

y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).

Таким образом, мы видим, что y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная

Здесь важно отметить, что сумма чётной и нечётной функции не сохраняет чётность, так как присутствуют противоположные знаки у слагаемых, что нарушает симметрию относительно оси y.

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства чётной и нечётной функций. Мы знаем, что для чётной функции f выполняется равенство f(-x) = f(x), а для нечётной функции g — g(-x) = -g(x).

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):

y(-x) = f(-x) — g(-x).

Так как f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).

Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная. Разница между чётной и нечётной функцией также нарушает симметрию относительно оси y, и, следовательно, эта функция не является чётной.

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:

y(-x) = y(x).

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):

y(-x) = f(-x) · g(-x).

Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) · (-g(x)) = -f(x) · g(x) = -y(x).

Таким образом, y(-x) = -y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является нечётной. Это означает, что произведение чётной и нечётной функции всегда будет нечётной функцией.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
2. Функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная
3. Функция y = f(x) · g(x) является нечётной.

Таким образом, сумма и разница чётной и нечётной функции не сохраняют чётность, а произведение чётной и нечётной функции всегда является нечётной функцией.

Пояснение:

• Чётная функция сохраняет симметрию относительно оси y, то есть f(-x) = f(x) для всех значений переменной x.
• Нечётная функция сохраняет симметрию относительно начала координат, то есть g(-x) = -g(x).
• Сумма или разница чётной и нечётной функции не сохраняет симметрию относительно оси y, так как знаки у слагаемых будут противоположными.
• Произведение чётной и нечётной функции сохраняет симметрию относительно начала координат, так как один из множителей будет менять знак при изменении x на -x.