Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.30 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Областью определения чётной функции f и нечётной функции g является множество M. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=f(x)+g(x);
2) y=f(x)-g(x);
3) y=f(x)·g(x).
Решение:
Даны две функции: f — чётная, и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Нам нужно исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
- y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
- y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) чётная, то есть для неё выполняется условие:
f(-x) = f(x).
Функция g(x) нечётная, то есть для неё выполняется условие:
g(-x) = -g(x).
Теперь проверим, что происходит при подстановке -x в функцию y = f(x) + g(x):
y(-x) = f(-x) + g(-x).
Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).
Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Чтобы проверить, чётна ли эта функция, нужно снова использовать свойства чётной и нечётной функций.
Подставим -x в функцию y = f(x) — g(x):
y(-x) = f(-x) — g(-x).
Как и в предыдущем случае, f(-x) = f(x), а g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).
Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) — g(x) также ни нечетная, ни нечетная
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь исследуем произведение функций y = f(x) · g(x). Для этого нужно подставить -x в выражение для функции y:
y(-x) = f(-x) · g(-x).
Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) · (-g(x)) = -f(x) · g(x) = -y(x).
Таким образом, y(-x) = -y(x), что означает, что функция y = f(x) · g(x) является нечётной.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
- Функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная
- Функция y = f(x) · g(x) является нечётной.
Таким образом, сумма или разница чётной и нечётной функции не является чётной, но произведение чётной и нечётной функции является нечётной функцией.
Решение:
Даны две функции: f — чётная и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Задача состоит в том, чтобы исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
- y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
- y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Чётность функции определяется тем, что для всех значений переменной x выполняется равенство:
f(-x) = f(x) для чётной функции f,
g(-x) = -g(x) для нечётной функции g.
Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:
y(-x) = f(-x) + g(-x).
Так как f(x) чётная функция, то f(-x) = f(x), а поскольку g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x). Получаем:
y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).
Таким образом, мы видим, что y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
Здесь важно отметить, что сумма чётной и нечётной функции не сохраняет чётность, так как присутствуют противоположные знаки у слагаемых, что нарушает симметрию относительно оси y.
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства чётной и нечётной функций. Мы знаем, что для чётной функции f выполняется равенство f(-x) = f(x), а для нечётной функции g — g(-x) = -g(x).
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):
y(-x) = f(-x) — g(-x).
Так как f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).
Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная. Разница между чётной и нечётной функцией также нарушает симметрию относительно оси y, и, следовательно, эта функция не является чётной.
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:
y(-x) = y(x).
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):
y(-x) = f(-x) · g(-x).
Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) · (-g(x)) = -f(x) · g(x) = -y(x).
Таким образом, y(-x) = -y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является нечётной. Это означает, что произведение чётной и нечётной функции всегда будет нечётной функцией.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) ни нечетная, ни нечетная
- Функция y = f(x) — g(x) ни нечетная, ни нечетная
- Функция y = f(x) · g(x) является нечётной.
Таким образом, сумма и разница чётной и нечётной функции не сохраняют чётность, а произведение чётной и нечётной функции всегда является нечётной функцией.
Пояснение:
- Чётная функция сохраняет симметрию относительно оси y, то есть f(-x) = f(x) для всех значений переменной x.
- Нечётная функция сохраняет симметрию относительно начала координат, то есть g(-x) = -g(x).
- Сумма или разница чётной и нечётной функции не сохраняет симметрию относительно оси y, так как знаки у слагаемых будут противоположными.
- Произведение чётной и нечётной функции сохраняет симметрию относительно начала координат, так как один из множителей будет менять знак при изменении x на -x.
Алгебра
