ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Областью определения нечётных функций \( f \) и \( g \) является множество \( M \). Исследуйте на чётность функцию:

1) \( y = f(x) + g(x) \);

2) \( y = f(x) — g(x) \);

3) \( y = f(x) \cdot g(x) \).

Решение:

Даны две функции: f и g, которые являются нечётными, и их область определения равна множеству M. Необходимо исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x) — сумма двух нечётных функций;
2. y = f(x) — g(x) — разница двух нечётных функций;
3. y = f(x) · g(x) — произведение двух нечётных функций.

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) нечётная, то есть для неё выполняется условие:

f(-x) = -f(x) и для функции g(x) выполняется условие:

g(-x) = -g(x).

Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:

y(-x) = f(-x) + g(-x).

Так как f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), следовательно:

y(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -f(x) — g(x) = -(f(x) + g(x)) = -y(x).

Мы видим, что y(-x) = -y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является нечётной. Таким образом, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства нечётных функций.

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):

y(-x) = f(-x) — g(-x).

Поскольку f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = -f(x) — (-g(x)) = -f(x) + g(x) = -(f(x) — g(x)) = -y(x).

Таким образом, y(-x) = -y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является нечётной. Разница двух нечётных функций также является нечётной функцией.

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:

y(-x) = y(x).

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):

y(-x) = f(-x) · g(-x).

Так как f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = (-f(x)) · (-g(x)) = f(x) · g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Произведение двух нечётных функций всегда является чётной функцией, так как два минуса дают плюс.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) является нечётной.
2. Функция y = f(x) — g(x) является нечётной.
3. Функция y = f(x) · g(x) является чётной.

Таким образом, сумма и разница двух нечётных функций всегда будут нечётными функциями, а произведение двух нечётных функций всегда будет чётной функцией.

Пояснение:

• Нечётная функция обладает симметрией относительно начала координат. То есть для каждой точки (x, f(x)) на графике функции, существует симметричная точка (-x, -f(x)).
• Сумма или разница двух нечётных функций сохраняет эту симметрию, поэтому результат всегда будет нечётным.
• Произведение двух нечётных функций становится чётным, так как два отрицательных знака в произведении дают положительный результат, сохраняя симметрию относительно оси y.

Решение:

Даны две функции: f — чётная и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Необходимо исследовать на чётность следующие функции:

1. y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
2. y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
3. y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.

1) Исследование функции y = f(x) + g(x):

Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) чётная, то есть для неё выполняется условие:

f(-x) = f(x) для чётной функции f,

g(-x) = -g(x) для нечётной функции g.

Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:

y(-x) = f(-x) + g(-x).

Так как f(x) чётная функция, то f(-x) = f(x), а поскольку g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), следовательно:

y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).

Таким образом, мы видим, что y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) не является чётной. Сумма чётной и нечётной функции не сохраняет симметрию относительно оси y, так как при сложении мы получаем знаки, противоположные друг другу, что нарушает симметричность функции.

2) Исследование функции y = f(x) — g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства чётных и нечётных функций. Мы знаем, что для чётной функции f выполняется равенство f(-x) = f(x), а для нечётной функции g — g(-x) = -g(x).

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):

y(-x) = f(-x) — g(-x).

Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).

Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) не является чётной. Разница между чётной и нечётной функцией также нарушает симметрию относительно оси y, и, следовательно, эта функция не является чётной.

3) Исследование функции y = f(x) · g(x):

Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:

y(-x) = y(x).

Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):

y(-x) = f(-x) · g(-x).

Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:

y(-x) = (-f(x)) · (-g(x)) = f(x) · g(x) = y(x).

Мы видим, что y(-x) = y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Произведение двух нечётных функций всегда является чётной функцией, так как два минуса в произведении дают положительный знак, и это сохраняет симметрию относительно оси y.

Ответ: Мы доказали, что:

1. Функция y = f(x) + g(x) не является чётной.
2. Функция y = f(x) — g(x) не является чётной.
3. Функция y = f(x) · g(x) является чётной.

Таким образом, сумма и разница двух нечётных функций всегда будут нечётными функциями, а произведение двух нечётных функций всегда будет чётной функцией.

Пояснение:

• Нечётная функция обладает симметрией относительно начала координат. То есть для каждой точки (x, f(x)) на графике функции существует симметричная точка (-x, -f(x)) на графике.
• Сумма или разница двух нечётных функций сохраняет эту симметрию, поэтому результат всегда будет нечётным.
• Произведение двух нечётных функций становится чётным, так как два отрицательных знака в произведении дают положительный результат, сохраняя симметрию относительно оси y.