Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.31 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Областью определения нечётных функций f и g является множество M. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=f(x)+g(x);
2) y=f(x)-g(x);
3) y=f(x)·g(x).
Решение:
Даны две функции: f и g, которые являются нечётными, и их область определения равна множеству M. Необходимо исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x) — сумма двух нечётных функций;
- y = f(x) — g(x) — разница двух нечётных функций;
- y = f(x) · g(x) — произведение двух нечётных функций.
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) нечётная, то есть для неё выполняется условие:
f(-x) = -f(x) и для функции g(x) выполняется условие:
g(-x) = -g(x).
Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:
y(-x) = f(-x) + g(-x).
Так как f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), следовательно:
y(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -f(x) — g(x) = -(f(x) + g(x)) = -y(x).
Мы видим, что y(-x) = -y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) является нечётной. Таким образом, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства нечётных функций.
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):
y(-x) = f(-x) — g(-x).
Поскольку f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = -f(x) — (-g(x)) = -f(x) + g(x) = -(f(x) — g(x)) = -y(x).
Таким образом, y(-x) = -y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) является нечётной. Разница двух нечётных функций также является нечётной функцией.
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:
y(-x) = y(x).
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):
y(-x) = f(-x) · g(-x).
Так как f(x) нечётная, то f(-x) = -f(x), а также g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = (-f(x)) · (-g(x)) = f(x) · g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что означает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Произведение двух нечётных функций всегда является чётной функцией, так как два минуса дают плюс.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) является нечётной.
- Функция y = f(x) — g(x) является нечётной.
- Функция y = f(x) · g(x) является чётной.
Таким образом, сумма и разница двух нечётных функций всегда будут нечётными функциями, а произведение двух нечётных функций всегда будет чётной функцией.
Пояснение:
- Нечётная функция обладает симметрией относительно начала координат. То есть для каждой точки (x, f(x)) на графике функции, существует симметричная точка (-x, -f(x)).
- Сумма или разница двух нечётных функций сохраняет эту симметрию, поэтому результат всегда будет нечётным.
- Произведение двух нечётных функций становится чётным, так как два отрицательных знака в произведении дают положительный результат, сохраняя симметрию относительно оси y.
Решение:
Даны две функции: f — чётная и g — нечётная, область определения которых равна множеству M. Необходимо исследовать на чётность следующие функции:
- y = f(x) + g(x) — сумма чётной и нечётной функции;
- y = f(x) — g(x) — разница чётной и нечётной функции;
- y = f(x) · g(x) — произведение чётной и нечётной функции.
1) Исследование функции y = f(x) + g(x):
Для того чтобы выяснить, чётна ли функция y = f(x) + g(x), нужно проверить, выполняется ли для неё условие чётности. Напоминаем, что функция f(x) чётная, то есть для неё выполняется условие:
f(-x) = f(x) для чётной функции f,
g(-x) = -g(x) для нечётной функции g.
Теперь подставим в выражение для функции y = f(x) + g(x) значение -x и посмотрим, что получится:
y(-x) = f(-x) + g(-x).
Так как f(x) чётная функция, то f(-x) = f(x), а поскольку g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), следовательно:
y(-x) = f(x) + (-g(x)) = f(x) — g(x) ≠ y(x).
Таким образом, мы видим, что y(-x) ≠ y(x), что означает, что функция y = f(x) + g(x) не является чётной. Сумма чётной и нечётной функции не сохраняет симметрию относительно оси y, так как при сложении мы получаем знаки, противоположные друг другу, что нарушает симметричность функции.
2) Исследование функции y = f(x) — g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) — g(x). Для того чтобы проверить её чётность, необходимо снова применить свойства чётных и нечётных функций. Мы знаем, что для чётной функции f выполняется равенство f(-x) = f(x), а для нечётной функции g — g(-x) = -g(x).
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) — g(x):
y(-x) = f(-x) — g(-x).
Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = f(x) — (-g(x)) = f(x) + g(x) ≠ y(x).
Таким образом, y(-x) ≠ y(x), что подтверждает, что функция y = f(x) — g(x) не является чётной. Разница между чётной и нечётной функцией также нарушает симметрию относительно оси y, и, следовательно, эта функция не является чётной.
3) Исследование функции y = f(x) · g(x):
Теперь исследуем функцию y = f(x) · g(x). Для доказательства её чётности нужно проверить, что выполняется условие:
y(-x) = y(x).
Подставим -x в выражение для функции y = f(x) · g(x):
y(-x) = f(-x) · g(-x).
Поскольку f(x) чётная, то f(-x) = f(x), а g(x) нечётная, то g(-x) = -g(x), получаем:
y(-x) = (-f(x)) · (-g(x)) = f(x) · g(x) = y(x).
Мы видим, что y(-x) = y(x), что доказывает, что функция y = f(x) · g(x) является чётной. Произведение двух нечётных функций всегда является чётной функцией, так как два минуса в произведении дают положительный знак, и это сохраняет симметрию относительно оси y.
Ответ: Мы доказали, что:
- Функция y = f(x) + g(x) не является чётной.
- Функция y = f(x) — g(x) не является чётной.
- Функция y = f(x) · g(x) является чётной.
Таким образом, сумма и разница двух нечётных функций всегда будут нечётными функциями, а произведение двух нечётных функций всегда будет чётной функцией.
Пояснение:
- Нечётная функция обладает симметрией относительно начала координат. То есть для каждой точки (x, f(x)) на графике функции существует симметричная точка (-x, -f(x)) на графике.
- Сумма или разница двух нечётных функций сохраняет эту симметрию, поэтому результат всегда будет нечётным.
- Произведение двух нечётных функций становится чётным, так как два отрицательных знака в произведении дают положительный результат, сохраняя симметрию относительно оси y.
Алгебра
