Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Существует ли функция, определённая на множестве R, которая одновременно является:
1) нечётной и возрастающей;
2) нечётной и убывающей;
3) чётной и возрастающей?
1) Нечётной и возрастающей;
Рассмотрим функцию f(x) = x:
- Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞);
- Функция возрастает на всей области определения;
- Функция является нечётной: f(-x) = -x = -f(x);
Ответ: может.
2) Нечётной и убывающей;
Рассмотрим функцию f(x) = -x:
- Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞);
- Функция убывает на всей области определения;
- Функция является нечётной: f(-x) = x = -f(x);
Ответ: может.
3) Чётной и возрастающей;
Пусть дана чётная возрастающая функция f(x);
Если x2 > x1, тогда: f(x2) > f(x1);
Но при этом функция убывает на [-x2; -x1];
- f(-x2) < f(-x1);
- f(-x1) < f(x1);
Ответ: не может.
1) Нечётной и возрастающей;
Рассмотрим функцию f(x) = x, которая является линейной и имеет следующие характеристики:
- Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞); Эта функция определена для всех значений x, так как линейная функция существует для любого значения переменной.
- Функция возрастает на всей области определения: Для линейной функции с положительным коэффициентом при x (в данном случае коэффициент равен 1), значение функции будет возрастать при увеличении x. То есть, если x1 < x2, то f(x1) < f(x2), что подтверждает, что функция возрастает.
- Функция является нечётной: Для функции f(x) = x выполняется условие нечётности, так как f(-x) = -x = -f(x). Это свойство означает, что график функции симметричен относительно начала координат, и для каждого положительного значения x существует симметричное отрицательное значение <strong-f(x).
Ответ: Функция может быть одновременно нечётной и возрастающей, например, функция f(x) = x.
2) Нечётной и убывающей;
Рассмотрим функцию f(x) = -x, которая также является линейной, но с отрицательным коэффициентом при x:
- Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞); Эта функция определена для всех значений x, как и предыдущая функция, так как линейные функции определены на всей числовой оси.
- Функция убывает на всей области определения: Для линейной функции с отрицательным коэффициентом при x, то есть при f(x) = -x, функция будет убывать. Это можно проверить: если x1 < x2, то f(x1) > f(x2). Например, если f(1) = -1, то f(2) = -2, и f(1) > f(2), что подтверждает, что функция убывает.
- Функция является нечётной: Для функции f(x) = -x выполняется условие нечётности, так как f(-x) = -(-x) = x = -f(x). Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, и для каждого положительного значения x существует соответствующее симметричное отрицательное значение -f(x).
Ответ: Функция может быть одновременно нечётной и убывающей, например, функция f(x) = -x.
3) Чётной и возрастающей;
Теперь рассмотрим, может ли функция быть одновременно чётной и возрастающей. Пусть дана чётная возрастающая функция f(x);
Для чётной функции выполняется условие f(-x) = f(x) для всех значений x.
Для возрастающей функции выполняется условие, что если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).
Предположим, что такая функция существует. Пусть функция f(x) чётная и возрастающая. Это означает, что функция сохраняет симметрию относительно оси y (для всех значений x и -x, она имеет одинаковые значения). Однако, если функция возрастающая, то для двух значений x1 < x2, должно выполняться f(x1) < f(x2). Таким образом, если функция чётная, она должна быть симметричной относительно оси y, и её график не может быть монотонно возрастающим на всей области определения, так как для любого положительного x существует симметричное значение для -x, которое нарушает условие возрастающей функции.
Следовательно, такая функция не может существовать, так как чётность и монотонность (возрастание) не могут сосуществовать на всей области определения функции.
Ответ: Функция не может быть одновременно чётной и возрастающей.
Алгебра
