ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.32 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Существует ли функция, определённая на множестве \( R \), которая одновременно является:

1) нечётной и возрастающей;

2) нечётной и убывающей;

3) чётной и возрастающей?

1) Нечётной и возрастающей;

Рассмотрим функцию f(x) = x:

• Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞);
• Функция возрастает на всей области определения;
• Функция является нечётной: f(-x) = -x = -f(x);

Ответ: может.

2) Нечётной и убывающей;

Рассмотрим функцию f(x) = -x:

• Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞);
• Функция убывает на всей области определения;
• Функция является нечётной: f(-x) = x = -f(x);

Ответ: может.

3) Чётной и возрастающей;

Пусть дана чётная возрастающая функция f(x);

Если x2 > x1, тогда: f(x2) > f(x1);

Но при этом функция убывает на [-x2; -x1];

• f(-x2) < f(-x1);
• f(-x1) < f(x1);

Ответ: не может.

1) Нечётной и возрастающей;

Рассмотрим функцию f(x) = x, которая является линейной и имеет следующие характеристики:

• Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞); Эта функция определена для всех значений x, так как линейная функция существует для любого значения переменной.
• Функция возрастает на всей области определения: Для линейной функции с положительным коэффициентом при x (в данном случае коэффициент равен 1), значение функции будет возрастать при увеличении x. То есть, если x1 < x2, то f(x1) < f(x2), что подтверждает, что функция возрастает.
• Функция является нечётной: Для функции f(x) = x выполняется условие нечётности, так как f(-x) = -x = -f(x). Это свойство означает, что график функции симметричен относительно начала координат, и для каждого положительного значения x существует симметричное отрицательное значение <strong-f(x).

Ответ: Функция может быть одновременно нечётной и возрастающей, например, функция f(x) = x.

2) Нечётной и убывающей;

Рассмотрим функцию f(x) = -x, которая также является линейной, но с отрицательным коэффициентом при x:

• Область определения функции: D(f) = (-∞; +∞); Эта функция определена для всех значений x, как и предыдущая функция, так как линейные функции определены на всей числовой оси.
• Функция убывает на всей области определения: Для линейной функции с отрицательным коэффициентом при x, то есть при f(x) = -x, функция будет убывать. Это можно проверить: если x1 < x2, то f(x1) > f(x2). Например, если f(1) = -1, то f(2) = -2, и f(1) > f(2), что подтверждает, что функция убывает.
• Функция является нечётной: Для функции f(x) = -x выполняется условие нечётности, так как f(-x) = -(-x) = x = -f(x). Это означает, что график функции симметричен относительно начала координат, и для каждого положительного значения x существует соответствующее симметричное отрицательное значение -f(x).

Ответ: Функция может быть одновременно нечётной и убывающей, например, функция f(x) = -x.

3) Чётной и возрастающей;

Теперь рассмотрим, может ли функция быть одновременно чётной и возрастающей. Пусть дана чётная возрастающая функция f(x);

Для чётной функции выполняется условие f(-x) = f(x) для всех значений x.

Для возрастающей функции выполняется условие, что если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).

Предположим, что такая функция существует. Пусть функция f(x) чётная и возрастающая. Это означает, что функция сохраняет симметрию относительно оси y (для всех значений x и -x, она имеет одинаковые значения). Однако, если функция возрастающая, то для двух значений x1 < x2, должно выполняться f(x1) < f(x2). Таким образом, если функция чётная, она должна быть симметричной относительно оси y, и её график не может быть монотонно возрастающим на всей области определения, так как для любого положительного x существует симметричное значение для -x, которое нарушает условие возрастающей функции.

Следовательно, такая функция не может существовать, так как чётность и монотонность (возрастание) не могут сосуществовать на всей области определения функции.

Ответ: Функция не может быть одновременно чётной и возрастающей.