ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.33 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чётная функция f, определённая на множестве R, возрастает на промежутке [0; +бесконечность). Определите, возрастает или убывает функция f на промежутке (-бесконечность; 0].

1) Пусть x₂ > x₁ и x₁ ∈ [0; +∞), тогда:

f(x₂) > f(x₁)

2) Так как функция чётная, имеем:

f(-x₂) = f(x₂)

f(-x₁) = f(x₁)

3) На промежутке (-∞; 0] функция убывает:

-x₂, -x₁ ∈ (-∞; 0];

-x₂ < -x₁

f(-x₂) > f(-x₁)

Ответ: убывает.

1) Пусть x₂ > x₁ и x₁ ∈ [0; +∞), тогда:

Для функции f(x), которая возрастает на промежутке [0; +∞), справедливо следующее: если x₂ > x₁, то значение функции при x₂ обязательно будет больше, чем значение функции при x₁, так как функция возрастает на этом промежутке. В математическом виде это записывается так:

f(x₂) > f(x₁)

Это означает, что если одно значение больше другого, то и значение функции будет больше при большем аргументе. Это свойство возрастания функции на промежутке [0; +∞) является ключевым для дальнейших рассуждений.

2) Так как функция чётная, имеем:

Чётность функции означает, что для всех значений x выполнено следующее условие:

f(-x) = f(x)

Это свойство чётных функций даёт возможность заменять положительные значения переменной на её противоположности, не меняя значения самой функции. Таким образом, если функция возрастает на промежутке [0; +∞), то она будет иметь одинаковые значения и для отрицательных аргументов. Для данного случая, если x₂ и x₁ — положительные числа, то мы можем записать:

f(-x₂) = f(x₂)

f(-x₁) = f(x₁)

Это означает, что значения функции для отрицательных аргументов будут точно такими же, как и для соответствующих положительных значений, что важно для анализа функции на промежутке (-∞; 0].

3) На промежутке (-∞; 0] функция убывает:

Теперь рассмотрим промежуток (-∞; 0], то есть все отрицательные значения переменной. Для таких значений мы можем использовать предыдущие утверждения, так как функция чётная. Пусть x₂ и x₁ принадлежат промежутку (-∞; 0], то есть оба эти значения — отрицательные. Следовательно, по свойству чётности, эти значения можно записать в виде -x₂ и -x₁, где x₂ и x₁ — положительные числа, и -x₂, -x₁ ∈ (-∞; 0].

Для анализа того, как ведет себя функция на промежутке (-∞; 0], необходимо учитывать, что если x₂ > x₁, то -x₂ < -x₁, то есть противоположные значения переменной будут наоборот, и -x₂ будет больше по величине. Таким образом, можно записать:

-x₂ < -x₁

Теперь, зная, что функция возрастает на промежутке [0; +∞), а чётность функции гарантирует одинаковые значения для положительных и отрицательных аргументов, можно утверждать, что на промежутке (-∞; 0] функция будет убывать:

f(-x₂) > f(-x₁)

Это утверждение обосновано тем, что на промежутке (-∞; 0] для двух любых чисел -x₂ и -x₁, где -x₂ > -x₁, значение функции при -x₂ всегда будет больше, чем при -x₁, что указывает на убывание функции на этом промежутке.

Ответ: функция убывает на промежутке (-∞; 0].