ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.34 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Нечётная функция f, определённая на множестве R, возрастает на промежутке [0; +бесконечность). Определите, возрастает или убывает функция f на промежутке (—бесконечность; 0].

1) Пусть x₂ > x₁ и x₁ ∈ [0; +∞), тогда:

Так как функция f(x) возрастает на промежутке [0; +∞), то для любых двух значений x₂ и x₁, где x₂ > x₁, выполнено следующее неравенство:

f(x₂) > f(x₁)

Однако на этом шаге также верно следующее для отрицательных значений функции: -f(x₂) < -f(x₁), что также подтверждает возрастание функции на рассматриваемом промежутке.

2) Так как функция нечётная, имеем:

Для нечётной функции выполнено следующее свойство:

f(-x) = -f(x)

Это свойство позволяет нам использовать противоположные значения переменной, сохраняя соответствующие знаки у функции. Таким образом, для значений x₂ и x₁ получаем:

f(-x₂) = -f(x₂)

f(-x₁) = -f(x₁)

3) На промежутке (-∞; 0] функция возрастает:

Так как функция возрастает на промежутке [0; +∞), для отрицательных значений -x₂ и -x₁ из промежутка (-∞; 0] будет выполнено следующее неравенство:

-x₂, -x₁ ∈ (-∞; 0]

Зная, что функция возрастает на промежутке [0; +∞), можно утверждать, что на промежутке (-∞; 0] функция будет возрастать, так как для двух значений -x₂ < -x₁:

f(-x₂) < f(-x₁)

Ответ: функция возрастает на промежутке (-∞; 0].

1) Пусть x₂ > x₁ и x₁ ∈ [0; +∞), тогда:

Функция f(x) возрастает на промежутке [0; +∞), что означает, что для любых двух чисел x₂ и x₁, таких что x₂ > x₁, выполняется неравенство:

f(x₂) > f(x₁)

Здесь мы рассматриваем два числа, где x₂ больше, чем x₁, и так как функция возрастает на этом промежутке, значение функции при x₂ обязательно будет больше, чем значение функции при x₁. Это важно, так как такой тип поведения функции поможет нам далее исследовать её свойства на промежутке (-∞; 0].

Важно отметить, что для отрицательных значений функции, учитывая, что функция нечётная, выполняется следующее:

-f(x₂) < -f(x₁)

Это подтверждает, что функция продолжает сохранять тот же характер возрастания, даже при наличии знаков минус в значениях функции.

2) Так как функция нечётная, имеем:

Для нечётной функции выполняется важное свойство: для всех значений x из области определения функции, выполнено следующее равенство:

f(-x) = -f(x)

Это свойство называется свойством нечётности функции и оно имеет ключевое значение при анализе поведения функции на разных промежутках. Это свойство позволяет утверждать, что значение функции при отрицательных аргументах будет равно отрицательному значению функции при соответствующих положительных аргументах.

Таким образом, для чисел x₂ и x₁, которые принадлежат промежутку [0; +∞), мы можем записать:

f(-x₂) = -f(x₂)

f(-x₁) = -f(x₁)

Это означает, что значения функции при отрицательных значениях переменной будут точно такими же по модулю, но с противоположным знаком, что важно для дальнейшего анализа её поведения на промежутке (-∞; 0].

3) На промежутке (-∞; 0] функция возрастает:

Теперь, зная, что функция возрастает на промежутке [0; +∞), давайте исследуем её поведение на промежутке (-∞; 0]. Для этого необходимо рассмотреть значения функции для отрицательных аргументов. Пусть -x₂ и -x₁ принадлежат промежутку (-∞; 0], то есть -x₂ и -x₁ являются отрицательными числами.

Согласно свойству нечётности функции, мы знаем, что если x₂ > x₁, то для соответствующих отрицательных значений переменной будет выполнено обратное неравенство:

-x₂ < -x₁

Таким образом, на промежутке (-∞; 0] переменная -x₂ будет меньше, чем -x₁, что, согласно свойству возрастания функции на промежутке [0; +∞), означает, что функция при -x₂ будет меньше, чем при -x₁:

f(-x₂) < f(-x₁)

Таким образом, на промежутке (-∞; 0] функция также возрастает. Это объясняется тем, что для двух отрицательных чисел -x₂ и -x₁, где -x₂ < -x₁, значение функции при -x₂ обязательно будет меньше, чем при -x₁, что указывает на возрастание функции на этом промежутке.

Ответ: функция возрастает на промежутке (-∞; 0].