Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.37 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Функция задана формулой \( f(x) = -3x^2 + 2x \).
1) Найдите:
\( f(1); f(0); f\left( \frac{1}{3} \right); f(-2); \)
2) Найдите значения аргумента, при которых значение функции \( f \) равно:
0; -1; -56.
Дана функция: \( f(x) = -3x^2 + 2x; \)
1) Значения функции:
\( f(1) = -3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1; \)
\( f(0) = -3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0; \)
\( f\left( \frac{1}{3} \right) = -3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}; \)
\( f(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = -12 — 4 = -16; \)
2) Значения аргумента:
Если \( f(x) = 0 \), имеем:
\( -3x^2 + 2x = 0; \)
\( -3x \left( x — \frac{2}{3} \right) = 0; \)
Тогда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{2}{3}; \)
Если \( f(x) = -1 \), имеем:
\( -3x^2 + 2x = -1; \)
\( 3x^2 — 2x — 1 = 0; \)
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16; \)
Корни уравнения: \( x_1 = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}; \)
\( x_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1; \)
Если \( f(x) = -56 \), имеем:
\( -3x^2 + 2x = -56; \)
\( 3x^2 — 2x — 56 = 0; \)
Дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676; \)
Корни уравнения:
Решения для значений аргумента при \( f(x) = -56 \):
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{2 — \sqrt{26}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 26}{6} = -\frac{24}{6} = -4; \)
\( x_2 = \frac{2 + \sqrt{26}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 26}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}; \)
Дана функция: \( f(x) = -3x^2 + 2x; \)
1) Значения функции:
Для нахождения значений функции подставим различные значения аргумента и проведем вычисления:
\( f(1) = -3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1; \)
При \( x = 1 \), мы видим, что функция принимает значение \( f(1) = -1 \), что позволяет нам заключить, что в точке \( x = 1 \) значение функции равно -1. Это вычисление является простым, так как все члены выражения оказываются достаточно маленькими для быстрого выполнения.
\( f(0) = -3 \cdot 0^2 + 2 \cdot 0 = 0; \)
При \( x = 0 \), значение функции также равно нулю, что объясняется тем, что все множители, содержащие \( x \), обнуляются, оставляя только результат 0. Это классический случай для любой квадратичной функции с такими коэффициентами, где \( x = 0 \) является корнем функции.
\( f\left( \frac{1}{3} \right) = -3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 2 \cdot \left( \frac{1}{3} \right) = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}; \)
При \( x = \frac{1}{3} \), подставив значение в уравнение, получаем \( f\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3} \), что подтверждает, что функция принимает положительное значение при дробном аргументе. В данном случае, результат упрощается до простой дроби, так как при вычислениях дробные части чисел удобно складываются.
\( f(-2) = -3 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) = -12 — 4 = -16; \)
При \( x = -2 \), мы видим, что значение функции становится достаточно большим отрицательным числом, равным \( f(-2) = -16 \). Это происходит, потому что квадрат отрицательного числа даёт положительный результат, а затем умножение на -3 делает его отрицательным, а второе слагаемое даёт дополнительное отрицательное значение.
2) Значения аргумента:
Теперь найдём такие значения \( x \), при которых функция будет равна указанным величинам.
Если \( f(x) = 0 \), то:
\( -3x^2 + 2x = 0; \)
Для того, чтобы решить это уравнение, можно вынести общий множитель \( x \):
\( -3x \left( x — \frac{2}{3} \right) = 0; \)
Таким образом, у нас есть два возможных значения для \( x \): \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{2}{3}; \)
Это означает, что функция равна нулю в двух точках, при \( x = 0 \) и \( x = \frac{2}{3} \). Первая точка очевидна, так как если \( x = 0 \), то оба слагаемых функции обнуляются. Вторая точка \( x = \frac{2}{3} \) подтверждается результатом уравнения.
Если \( f(x) = -1 \), то:
\( -3x^2 + 2x = -1; \)
Переносим все в одну сторону:
\( 3x^2 — 2x — 1 = 0; \)
Для нахождения корней уравнения используем дискриминант:
Дискриминант: \( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16; \)
Корни уравнения: \( x_1 = \frac{2 — 4}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}; \)
\( x_2 = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1; \)
Таким образом, значения аргумента, при которых \( f(x) = -1 \), равны \( x_1 = -\frac{1}{3} \) и \( x_2 = 1 \). Это подтверждается вычислениями, где дискриминант положительный, и мы получаем два действительных корня.
Если \( f(x) = -56 \), то:
\( -3x^2 + 2x = -56; \)
Переносим все в одну сторону:
\( 3x^2 — 2x — 56 = 0; \)
Для нахождения корней снова используем дискриминант:
Дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 4 + 672 = 676; \)
Корни уравнения:
Решения для значений аргумента при \( f(x) = -56 \):
\( x_1 = \frac{2 — \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{2 — 26}{6} = -\frac{24}{6} = -4; \)
\( x_2 = \frac{2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 26}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3} = 4 \frac{2}{3}; \)
Таким образом, значения аргумента, при которых функция принимает значение \( f(x) = -56 \), равны \( x_1 = -4 \) и \( x_2 = \frac{14}{3} \), что подтверждается вычислениями и получением двух действительных корней уравнения.
