ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.39 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( f(x) = \frac{9}{x+4} \):

2) \( f(x) = \frac{x-6}{4} \):

3) \( f(x) = \sqrt{x-7} \):

4) \( f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x-1}} \):

5) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 6x — 7} = \sqrt{(x+7)(x-1)} \):

6) \( f(x) = \frac{1}{x^2 — 5x} = \frac{1}{x(x-5)} \):

7) \( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1-x} \):

8) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{12 + 4x — x^2}} \):

9) \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-1} \):

10) \( f(x) = \sqrt{x} — \sqrt{-x} \).

1) \( f(x) = \frac{9}{x + 4} \)
Условие: \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty) \).

2) \( f(x) = \frac{x — 6}{4} \)
Ограничений нет.

Ответ: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

3) \( f(x) = \sqrt{x — 7} \)
Условие: \( x — 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7 \).

Ответ: \( D(f) = [7; +\infty) \).

4) \( f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x — 1}} \)
Условие: \( -x — 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -1) \).

5) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 6x — 7} \)
Неравенство: \( x^2 + 6x — 7 \ge 0 \Rightarrow (x + 7)(x — 1) \ge 0 \), отсюда \( x \le -7 \) или \( x \ge 1 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -7] \cup [1; +\infty) \).

6) \( f(x) = \frac{1}{x^2 — 5x} \)
Условие: \( x^2 — 5x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0,\, x \neq 5 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty) \).

7) \( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 — x} \)
Условия: \( x \ge 0 \) и \( 1 — x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 1 \).

Ответ: \( D(f) = [0; 1] \).

8) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{12 + 4x — x^2}} \)
Неравенство: \( 12 + 4x — x^2 > 0 \Rightarrow (x — 6)(x + 2) < 0 \).

Ответ: \( D(f) = (-2; 6) \).

9) \( f(x) = \frac{\sqrt{x — 1}}{x — 1} \)
Условие: \( x — 1 \ge 0 \) и \( x — 1 \neq 0 \Rightarrow x > 1 \).

Ответ: \( D(f) = (1; +\infty) \).

10) \( f(x) = \sqrt{x} — \sqrt{-x} \)
Условия: \( x \ge 0 \) и \( -x \ge 0 \Rightarrow x = 0 \).

Ответ: \( D(f) = \{0\} \).

1) \( f(x) = \frac{9}{x + 4} \)
Функция представляет собой дробь, и чтобы она была определена, необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю, так как деление на ноль в математике невозможно. Это условие даёт: \( x + 4 \neq 0 \), что в свою очередь приводит к ограничению \( x \neq -4 \). Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел, кроме точки \( x = -4 \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty) \).

2) \( f(x) = \frac{x — 6}{4} \)
Данная функция — линейная дробь, в которой знаменатель равен константе \( 4 \) и не зависит от \( x \), следовательно, он никогда не равен нулю. В выражении нет извлечения квадратного корня и других потенциальных ограничений, поэтому функция определена для всех действительных значений \( x \).

Ответ: \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).

3) \( f(x) = \sqrt{x — 7} \)
Корень квадратный в вещественных числах определён только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому условие существования функции: \( x — 7 \ge 0 \). Решая, получаем \( x \ge 7 \). Таким образом, область определения — все числа, начиная с 7 и выше.

Ответ: \( D(f) = [7; +\infty) \).

4) \( f(x) = \frac{10}{\sqrt{-x — 1}} \)
В знаменателе содержится квадратный корень, что накладывает два ограничения: во-первых, подкоренное выражение должно быть строго положительным (так как ноль в знаменателе невозможен), во-вторых, оно не может быть отрицательным. Условие: \( -x — 1 > 0 \), откуда \( x < -1 \). Таким образом, область определения — все числа меньше -1.

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -1) \).

5) \( f(x) = \sqrt{x^2 + 6x — 7} \)
Подкоренное выражение \( x^2 + 6x — 7 \) должно быть неотрицательным: \( x^2 + 6x — 7 \ge 0 \). Разложим квадратный трёхчлен: \( (x + 7)(x — 1) \ge 0 \). Знак неравенства меняется на корнях \( x = -7 \) и \( x = 1 \). Решив неравенство методом интервалов, получаем: \( x \le -7 \) или \( x \ge 1 \). Следовательно, функция определена на двух промежутках.

Ответ: \( D(f) = (-\infty; -7] \cup [1; +\infty) \).

6) \( f(x) = \frac{1}{x^2 — 5x} \)
Функция определена, если знаменатель не равен нулю: \( x^2 — 5x \neq 0 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(x — 5) \neq 0 \), что даёт два ограничения: \( x \neq 0 \) и \( x \neq 5 \). Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 0 и 5.

Ответ: \( D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 5) \cup (5; +\infty) \).

7) \( f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{1 — x} \)
Здесь присутствуют два квадратных корня, поэтому оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными: \( x \ge 0 \) и \( 1 — x \ge 0 \). Первое неравенство даёт \( x \ge 0 \), второе — \( x \le 1 \). В совокупности получаем: \( 0 \le x \le 1 \).

Ответ: \( D(f) = [0; 1] \).

8) \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{12 + 4x — x^2}} \)
Так как выражение под корнем находится в знаменателе, оно должно быть строго положительным: \( 12 + 4x — x^2 > 0 \). Приведём к стандартному виду: \( -x^2 + 4x + 12 > 0 \). Умножим на -1 и изменим знак неравенства: \( x^2 — 4x — 12 < 0 \). Находим корни: \( x_{1,2} = -2 \) и \( x = 6 \). Так как ветви параболы направлены вверх, то условие выполняется между корнями: \( -2 < x < 6 \).

Ответ: \( D(f) = (-2; 6) \).

9) \( f(x) = \frac{\sqrt{x — 1}}{x — 1} \)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x — 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \). Но одновременно знаменатель не должен равняться нулю: \( x — 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). В совокупности это означает: \( x > 1 \).

Ответ: \( D(f) = (1; +\infty) \).

10) \( f(x) = \sqrt{x} — \sqrt{-x} \)
Первый корень требует \( x \ge 0 \), второй — \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). Эти условия одновременно выполняются только при \( x = 0 \).

Ответ: \( D(f) = \{0\} \).