Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.41 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) y=-7x+3; 3) y=6/(4-x); 5) y=3x^2-7x+4;
2) y=x^2-8x+16; 4) y=-x^2-1; 6) y=-2x^2+3x-1.
1) y = -7x + 3;
Значения положительные при:
-7x + 3 > 0;
7x < 3;
x < 3 / 7;
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 3/7); y(x) < 0 при (3/7; +∞).
2) y = x² — 8x + 16;
Значения положительные при:
x² — 8x + 16 > 0;
(x — 4)² > 0;
x — 4 ≠ 0;
x ≠ 4;
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 4) ∪ (4; +∞).
3) y = 6 / (4 — x);
Значения положительные при:
6 / (4 — x) > 0;
4 — x > 0;
x < 4;
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 4); y(x) < 0 при (4; +∞).
4) y = -x² — 1;
Значения положительные при:
-x² — 1 > 0;
x² + 1 < 0;
x ∈ Ø;
Ответ: y(x) < 0 при (-∞; +∞).
5) y = 3x² — 7x + 4;
Значения положительные при:
3x² — 7x + 4 > 0;
D = 7² — 4 · 3 · 4 = 49 — 48 = 1;
x₁ = (7 — 1) / 6 = 6 / 6 = 1;
x₂ = (7 + 1) / 6 = 8 / 6 = 4/3;
(x — 1)(x — 4/3) > 0;
x < 1 или x > 4/3;
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 1) ∪ (4/3; +∞); y(x) < 0 при (1; 4/3).
6) y = -2x² + 3x — 1;
Значения положительные при:
-2x² + 3x — 1 > 0;
D = 3² — 4 · (-2) · (-1) = 9 — 8 = 1;
x₁ = (3 — 1) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2;
x₂ = (3 + 1) / (-4) = 4 / (-4) = -1;
x < -1/2 или x > -1;
Ответ: y(x) > 0 при (-1/2; -1); y(x) < 0 при (-∞; -1/2) ∪ (-1; +∞).
1) y = -7x + 3;
Для нахождения промежутков, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения, необходимо решить неравенства. Начнем с того, что приравняем выражение функции к нулю:
-7x + 3 > 0;
Решаем это неравенство. Для этого переносим 3 в правую часть и делим обе части на -7 (так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется):
x < 3 / 7;
Таким образом, функция будет положительной на промежутке (-∞; 3/7) и отрицательной на промежутке (3/7; +∞).
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 3/7); y(x) < 0 при (3/7; +∞).
2) y = x² — 8x + 16;
Рассмотрим это квадратное выражение. Для нахождения промежутков, на которых функция положительна, нужно решить неравенство:
x² — 8x + 16 > 0;
Это можно переписать в виде квадрата бинома:
(x — 4)² > 0;
Это неравенство всегда выполняется, кроме случая, когда x = 4 (так как квадрат любого числа всегда больше нуля). Следовательно, функция положительна на промежутках (-∞; 4) и (4; +∞), а на точке x = 4 функция равна нулю.
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 4) ∪ (4; +∞).
3) y = 6 / (4 — x);
Для нахождения промежутков, на которых функция положительна, приравняем выражение функции к нулю:
6 / (4 — x) > 0;
Числитель всегда положителен, следовательно, чтобы функция была положительной, знаменатель должен быть положительным. Это условие можно выразить неравенством:
4 — x > 0;
x < 4;
Таким образом, функция положительна на промежутке (-∞; 4).
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 4); y(x) < 0 при (4; +∞).
4) y = -x² — 1;
Для нахождения промежутков, на которых функция положительна, приравняем выражение к нулю:
-x² — 1 > 0;
Переносим все в правую часть:
x² + 1 < 0;
Так как квадрат любого числа всегда неотрицателен, а 1 всегда положительное число, это неравенство не имеет решений. Следовательно, функция не может быть положительной ни на одном промежутке.
Ответ: Нет решений, функция не положительна на любом промежутке.
5) y = 3x² — 7x + 4;
Для нахождения промежутков, на которых функция положительна, приравняем выражение к нулю:
3x² — 7x + 4 > 0;
Для решения этого квадратного неравенства вычислим дискриминант:
D = (-7)² — 4 · 3 · 4 = 49 — 48 = 1;
Теперь находим корни квадратного уравнения:
x₁ = (7 — √1) / (2 · 3) = 6 / 6 = 1;
x₂ = (7 + √1) / (2 · 3) = 8 / 6 = 4/3;
Теперь можем рассмотреть знак функции на различных промежутках. Неравенство имеет два корня, и мы определим промежутки, на которых функция положительна. Решение будет следующим:
y(x) > 0 при (-∞; 1) ∪ (4/3; +∞), y(x) < 0 при (1; 4/3).
Ответ: y(x) > 0 при (-∞; 1) ∪ (4/3; +∞); y(x) < 0 при (1; 4/3).
6) y = -2x² + 3x — 1;
Для нахождения промежутков, на которых функция положительна, приравняем выражение к нулю:
-2x² + 3x — 1 > 0;
Для решения этого квадратного неравенства вычислим дискриминант:
D = 3² — 4 · (-2) · (-1) = 9 — 8 = 1;
Теперь находим корни квадратного уравнения:
x₁ = (3 — √1) / (-4) = 2 / (-4) = -1/2;
x₂ = (3 + √1) / (-4) = 4 / (-4) = -1;
Теперь определим промежутки, на которых функция положительна:
y(x) > 0 при (-1/2; -1), y(x) < 0 при (-∞; -1/2) ∪ (-1; +∞).
Ответ: y(x) > 0 при (-1/2; -1); y(x) < 0 при (-∞; -1/2) ∪ (-1; +∞).
Алгебра
