ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.41 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) \( y = -7x + 3 \)

2) \( y = x^2 — 8x + 16 = (x-4)^2 \)

3) \( y = \frac{6}{4 — x} \)

4) \( y = -x^2 — 1 \)

5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \)

6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \)

1) \( y = -7x + 3 \);

Значения положительные при:

\( -7x + 3 > 0 \);

\( 7x < 3 \);

\( x < \frac{3}{7} \);

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; \frac{3}{7}) \); \( y(x) < 0 \) при \( (\frac{3}{7};\; +\infty) \).

2) \( y = x^2 — 8x + 16 \);

Значения положительные при:

\( x^2 — 8x + 16 > 0 \);

\( (x — 4)^2 > 0 \);

\( x — 4 \ne 0 \);

\( x \ne 4 \);

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 4) \cup (4;\; +\infty) \).

3) \( y = \frac{6}{4 — x} \);

Значения положительные при:

\( \frac{6}{4 — x} > 0 \);

\( 4 — x > 0 \);

\( x < 4 \);

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 4) \); \( y(x) < 0 \) при \( (4;\; +\infty) \).

4) \( y = -x^2 — 1 \);

Значения положительные при:

\( -x^2 — 1 > 0 \);

\( x^2 + 1 < 0 \);

\( x \in \emptyset\);

Ответ: функция всегда отрицательна при \( (-\infty; +\infty) \).

5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \);

Значения положительные при:

\( 3x^2 — 7x + 4 > 0 \);

\( D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1 \);

\( x_1 = \frac{7 — 1}{6} = 1 \);

\( x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \);

\( (x — 1)(x — \frac{4}{3}) > 0 \);

\( x < 1 \) или \( x > \frac{4}{3} \);

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 1) \cup (\frac{4}{3};\; +\infty) \); \( y(x) < 0 \) при \( (1;\; \frac{4}{3}) \).

6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \);

Значения положительные при:

\( -2x^2 + 3x — 1 > 0 \);

\( D = 3^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 9 — 8 = 1 \);

\( x_1 = \frac{-3 — 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \);

\( x_2 = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \);

Так как ветви параболы направлены вниз, положительные значения на промежутке:

\( \frac{1}{2} < x < 1 \);

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (\frac{1}{2};\; 1) \); \( y(x) < 0 \) при \( (-\infty;\; \frac{1}{2}) \cup (1;\; +\infty) \).

1) \( y = -7x + 3 \);

Для нахождения промежутков знакопостоянства решаем неравенство:

\( -7x + 3 > 0 \);

\( 7x < 3 \);

\( x < \frac{3}{7} \).

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; \frac{3}{7}) \); \( y(x) < 0 \) при \( (\frac{3}{7}; +\infty) \).

2) \( y = x^2 — 8x + 16 \);

Решаем:

\( x^2 — 8x + 16 > 0 \);

\( (x — 4)^2 > 0 \);

\( x \ne 4 \).

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).

3) \( y = \frac{6}{4 — x} \);

Решаем:

\( \frac{6}{4 — x} > 0 \);

\( 4 — x > 0 \);

\( x < 4 \).

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 4) \); \( y(x) < 0 \) при \( (4; +\infty) \).

4) \( y = -x^2 — 1 \);

Решаем:

\( -x^2 — 1 > 0 \);

\( x^2 + 1 < 0 \) — решений нет.

\( x \in \emptyset\);

Ответ: функция всегда отрицательна при \( (-\infty; +\infty) \).

5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \);

Решаем:

\( 3x^2 — 7x + 4 > 0 \);

\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1 \);

\( x_1 = \frac{7 — 1}{6} = 1 \), \( x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \).

Так как \( a = 3 > 0 \), ветви вверх, функция положительна при \( x < 1 \) или \( x > \frac{4}{3} \).

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 1) \cup (\frac{4}{3}; +\infty) \); \( y(x) < 0 \) при \( (1; \frac{4}{3}) \).

6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \);

Решаем:

\( -2x^2 + 3x — 1 > 0 \);

\( D = 3^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 9 — 8 = 1 \);

Корни: \( x_1 = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \).

Так как \( a = -2 < 0 \), ветви вниз, функция положительна при \( \frac{1}{2} < x < 1 \).

Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (\frac{1}{2}; 1) \); \( y(x) < 0 \) при \( (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).