Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.41 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите промежутки знакопостоянства функции:
1) \( y = -7x + 3 \)
2) \( y = x^2 — 8x + 16 = (x-4)^2 \)
3) \( y = \frac{6}{4 — x} \)
4) \( y = -x^2 — 1 \)
5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \)
6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \)
1) \( y = -7x + 3 \);
Значения положительные при:
\( -7x + 3 > 0 \);
\( 7x < 3 \);
\( x < \frac{3}{7} \);
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; \frac{3}{7}) \); \( y(x) < 0 \) при \( (\frac{3}{7};\; +\infty) \).
2) \( y = x^2 — 8x + 16 \);
Значения положительные при:
\( x^2 — 8x + 16 > 0 \);
\( (x — 4)^2 > 0 \);
\( x — 4 \ne 0 \);
\( x \ne 4 \);
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 4) \cup (4;\; +\infty) \).
3) \( y = \frac{6}{4 — x} \);
Значения положительные при:
\( \frac{6}{4 — x} > 0 \);
\( 4 — x > 0 \);
\( x < 4 \);
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 4) \); \( y(x) < 0 \) при \( (4;\; +\infty) \).
4) \( y = -x^2 — 1 \);
Значения положительные при:
\( -x^2 — 1 > 0 \);
\( x^2 + 1 < 0 \);
\( x \in \emptyset\);
Ответ: функция всегда отрицательна при \( (-\infty; +\infty) \).
5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \);
Значения положительные при:
\( 3x^2 — 7x + 4 > 0 \);
\( D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1 \);
\( x_1 = \frac{7 — 1}{6} = 1 \);
\( x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \);
\( (x — 1)(x — \frac{4}{3}) > 0 \);
\( x < 1 \) или \( x > \frac{4}{3} \);
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty;\; 1) \cup (\frac{4}{3};\; +\infty) \); \( y(x) < 0 \) при \( (1;\; \frac{4}{3}) \).
6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \);
Значения положительные при:
\( -2x^2 + 3x — 1 > 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 9 — 8 = 1 \);
\( x_1 = \frac{-3 — 1}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1 \);
\( x_2 = \frac{-3 + 1}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \);
Так как ветви параболы направлены вниз, положительные значения на промежутке:
\( \frac{1}{2} < x < 1 \);
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (\frac{1}{2};\; 1) \); \( y(x) < 0 \) при \( (-\infty;\; \frac{1}{2}) \cup (1;\; +\infty) \).
1) \( y = -7x + 3 \);
Для нахождения промежутков знакопостоянства решаем неравенство:
\( -7x + 3 > 0 \);
\( 7x < 3 \);
\( x < \frac{3}{7} \).
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; \frac{3}{7}) \); \( y(x) < 0 \) при \( (\frac{3}{7}; +\infty) \).
2) \( y = x^2 — 8x + 16 \);
Решаем:
\( x^2 — 8x + 16 > 0 \);
\( (x — 4)^2 > 0 \);
\( x \ne 4 \).
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \).
3) \( y = \frac{6}{4 — x} \);
Решаем:
\( \frac{6}{4 — x} > 0 \);
\( 4 — x > 0 \);
\( x < 4 \).
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 4) \); \( y(x) < 0 \) при \( (4; +\infty) \).
4) \( y = -x^2 — 1 \);
Решаем:
\( -x^2 — 1 > 0 \);
\( x^2 + 1 < 0 \) — решений нет.
\( x \in \emptyset\);
Ответ: функция всегда отрицательна при \( (-\infty; +\infty) \).
5) \( y = 3x^2 — 7x + 4 \);
Решаем:
\( 3x^2 — 7x + 4 > 0 \);
\( D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 — 48 = 1 \);
\( x_1 = \frac{7 — 1}{6} = 1 \), \( x_2 = \frac{7 + 1}{6} = \frac{4}{3} \).
Так как \( a = 3 > 0 \), ветви вверх, функция положительна при \( x < 1 \) или \( x > \frac{4}{3} \).
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (-\infty; 1) \cup (\frac{4}{3}; +\infty) \); \( y(x) < 0 \) при \( (1; \frac{4}{3}) \).
6) \( y = -2x^2 + 3x — 1 \);
Решаем:
\( -2x^2 + 3x — 1 > 0 \);
\( D = 3^2 — 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 9 — 8 = 1 \);
Корни: \( x_1 = \frac{3 — 1}{4} = \frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{3 + 1}{4} = 1 \).
Так как \( a = -2 < 0 \), ветви вниз, функция положительна при \( \frac{1}{2} < x < 1 \).
Ответ: \( y(x) > 0 \) при \( (\frac{1}{2}; 1) \); \( y(x) < 0 \) при \( (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (1; +\infty) \).
