Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.44 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции
f(x)=(x^2+2x), если x меньше равно 0),(x^2-2x, если x > 0).
Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.
Построить график функции:
f(x) = { x² + 2x, если x ≤ 0,
{ x² — 2x, если x > 0
y = x² + 2x — уравнение параболы:
x₀ = -b / 2a = -2 / 2 = -1;
y₀ = (-1)² + 2 · (-1) = 1 — 2 = -1;
Таблица значений:
| x | -4 | -3 | -2 | 0 |
| y | 8 | 3 | 0 | 0 |
y = x² — 2x — уравнение параболы:
x₀ = -b / 2a = -(-2) / 2 = 1;
y₀ = 1² — 2 · 1 = 1 — 2 = -1;
Таблица значений:
| x | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 0 | 0 | 3 | 8 |
1) Нули функции:
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 2;
2) Промежутки знакопостоянства:
f(x) > 0 при (-∞; -2) ∪ (2; +∞);
f(x) < 0 при (-2; 0) ∪ (0; 2);
3) Промежутки возрастания и убывания:
Возрастает на [-1; 0] ∪ [1; +∞);
Убывает на (-∞; -1) ∪ [0; 1];
Построить график функции:
f(x) = { x² + 2x, если x ≤ 0,
{ x² — 2x, если x > 0
1) y = x² + 2x — уравнение параболы:
Для того чтобы построить график этой функции, определим координаты вершины параболы. Вершина параболы для функции вида ax² + bx + c находится по формуле x₀ = -b / (2a). Для нашего уравнения коэффициенты a = 1, b = 2, c = 0. Таким образом:
x₀ = -b / 2a = -2 / 2 = -1;
Теперь находим значение функции в вершине:
y₀ = (-1)² + 2 · (-1) = 1 — 2 = -1;
Таким образом, координаты вершины параболы: (x₀, y₀) = (-1, -1).
2) Таблица значений для функции y = x² + 2x:
Заполняем таблицу значений функции, подставляя разные значения x:
| x | -4 | -3 | -2 | 0 |
| y | 8 | 3 | 0 | 0 |
3) y = x² — 2x — уравнение параболы:
Теперь рассмотрим вторую параболу, которая описана функцией y = x² — 2x. Координаты её вершины находим по аналогичной формуле. Для уравнения y = x² — 2x коэффициенты a = 1, b = -2, c = 0:
x₀ = -(-2) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1;
Теперь находим значение функции в вершине:
y₀ = (1)² — 2 · (1) = 1 — 2 = -1;
Таким образом, координаты вершины второй параболы: (x₀, y₀) = (1, -1).
4) Таблица значений для функции y = x² — 2x:
Заполняем таблицу значений второй функции:
| x | 0 | 2 | 3 | 4 |
| y | 0 | 0 | 3 | 8 |
5) График функции:
На основании найденных значений строим график функции. График состоит из двух частей: первая часть функции имеет уравнение y = x² + 2x для x ≤ 0, а вторая часть — уравнение y = x² — 2x для x > 0.
6) Нули функции:
Нули функции — это значения x, при которых y = 0:
Для первой части функции y = x² + 2x, при y = 0, получаем:
x(x + 2) = 0;
Таким образом, x₁ = -2 и x₂ = 0.
Для второй части функции y = x² — 2x, при y = 0, получаем:
x(x — 2) = 0;
Таким образом, x₃ = 2.
Ответ: Нули функции: x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 2.
7) Промежутки знакопостоянства:
Для первой части функции y = x² + 2x, на промежутке (-∞; -2) функция принимает положительные значения, а на промежутке (-2; 0) — отрицательные.
Для второй части функции y = x² — 2x, на промежутке (0; 2) функция принимает отрицательные значения, а на промежутке (2; +∞) — положительные.
Ответ: f(x) > 0 при (-∞; -2) ∪ (2; +∞); f(x) < 0 при (-2; 0) ∪ (0; 2).
8) Промежутки возрастания и убывания:
Для первой части функции y = x² + 2x, на промежутке [-1; 0] функция возрастает, а на промежутке [-∞; -1] — убывает.
Для второй части функции y = x² — 2x, на промежутке [1; +∞) функция возрастает, а на промежутке (-∞; 1] — убывает.
Ответ: Возрастает на [-1; 0] ∪ [1; +∞); убывает на (-∞; -1) ∪ [0; 1].
Алгебра
