ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.44 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции

\( f(x)=\begin{cases}
x^2+2x, & x\le 0,\\
x^2-2x, & x>0.
\end{cases} \)

Пользуясь построенным графиком, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Построить график функции:
\( f(x)=\begin{cases}
x^2+2x,& x\le 0,\\
x^2-2x,& x>0
\end{cases} \)

y = x^2 + 2x — уравнение параболы:

\( x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-2}{2}=-1;\quad y_0=(-1)^2+2\cdot(-1)=1-2=-1. \)

Таблица значений:

y = x^2 — 2x — уравнение параболы:

\( x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-2)}{2}=1;\quad y_0=1^2-2\cdot1=1-2=-1. \)

Таблица значений:

1) Нули функции:
\( x_1=-2,\; x_2=0,\; x_3=2. \)

2) Промежутки знакопостоянства:
\( f(x)>0 \) при \( (-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty) \);
\( f(x)<0 \) при \( (-2;\,0)\cup(0;\,2) \).

3) Промежутки возрастания и убывания:
Возрастает на \( [-1;\,0]\cup[1;\,+\infty) \);
Убывает на \( (-\infty;\,-1)\cup[0;\,1] \).

Построение графика кусочной функции:
\( f(x) = \begin{cases}
x^2 + 2x, & x \le 0, \\
x^2 — 2x, & x > 0
\end{cases} \)

1) Первая часть функции \( y = x^2 + 2x \):
Это парабола с коэффициентом \( a = 1 \) (ветви направлены вверх). Координату вершины находим по формуле \( x_0 = \frac{-b}{2a} \):
\( x_0 = \frac{-2}{2} = -1 \).
Подставляем \( x_0 \) в уравнение функции:
\( y_0 = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) = 1 — 2 = -1 \).
Вершина параболы имеет координаты \( (-1; -1) \).
При \( x \to -\infty \) значения функции \( y \to +\infty \). Функция убывает на интервале \( (-\infty; -1] \) и возрастает на \( [-1; 0] \).

Таблица значений для построения:

2) Вторая часть функции \( y = x^2 — 2x \):
Это также парабола с \( a = 1 \) (ветви вверх). Вершина находится по той же формуле:
\( x_0 = \frac{-(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
Значение функции в вершине:
\( y_0 = (1)^2 — 2 \cdot 1 = 1 — 2 = -1 \).
Вершина параболы: \( (1; -1) \).
При \( x \to +\infty \) значения \( y \to +\infty \). Функция убывает на интервале \( (0; 1] \) и возрастает на \( [1; +\infty) \).

Таблица значений для построения:

3) Нули функции:
Для \( x^2 + 2x = 0 \) получаем \( x(x+2) = 0 \) ⇒ \( x = -2, \; x = 0 \).
Для \( x^2 — 2x = 0 \) получаем \( x(x-2) = 0 \) ⇒ \( x = 0, \; x = 2 \).
Учитывая область определения каждой части: \( x = -2, \; x = 0, \; x = 2 \).

4) Промежутки знакопостоянства:
— \( f(x) > 0 \) при \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \);
— \( f(x) < 0 \) при \( (-2; 0) \cup (0; 2) \).

5) Промежутки возрастания и убывания:
— Возрастает: на отрезке \( [-1; 0] \) для первой параболы и на луче \( [1; +\infty) \) для второй параболы;
— Убывает: на \( (-\infty; -1] \) для первой параболы и на \( (0; 1] \) для второй.

6) Характер графика:
График состоит из двух ветвей парабол, симметрично расположенных относительно оси \( Oy \) по вершинам, но смещённых: первая парабола «вырезана» при \( x \le 0 \), вторая при \( x > 0 \). В точке \( x = 0 \) обе части имеют одно и то же значение \( y = 0 \), график непрерывен. Минимумы в точках \( (-1; -1) \) и \( (1; -1) \), локальный максимум в точке \( (0; 0) \).