ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) \( 5^{\frac{1}{3}}; \)

2) \( b^{-\frac{1}{7}}; \)

3) \( (ab)^{\frac{4}{7}}; \)

4) \( (m+n)^{2,5}. \)

Представить степень с дробным показателем в виде корня:

1) \((5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}\);

Ответ: \(\sqrt[3]{5}\).

2) \((b^{-\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{\frac{1}{b^1}} = \frac{1}{\sqrt[7]{b}}\);

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{b}}\).

3) \((ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4} = \sqrt[7]{a^4 b^4}\)\);

Ответ: \(\sqrt[7]{a^4 b^4}\).

4) \((m + n)^{2,5} = (m + n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m + n)^5}\);

Ответ: \(\sqrt{(m + n)^5}\).

Представление степени с дробным показателем в виде корня — это важный приём в алгебре, который позволяет упростить работу с выражениями, содержащими степени с дробными показателями, и наглядно показать связь между степенями и корнями.

Рассмотрим подробно каждый из приведённых примеров:

1. Пример 1: \(5^{\frac{1}{3}}\)Степень с показателем \(\frac{1}{3}\) означает третий корень из числа 5. Это можно записать так:

   \[
   5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}
   \]

   Таким образом, возведение числа в степень с дробным показателем \(\frac{1}{3}\) эквивалентно извлечению кубического корня из этого числа.

   Ответ: \(\sqrt[3]{5}\).

2. Пример 2: \(b^{-\frac{1}{7}}\)Отрицательный показатель степени указывает на обратное число, а дробный показатель — на корень. Запишем это подробно:

   \[
   b^{-\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{\frac{1}{b^1}} = \frac{1}{\sqrt[7]{b}}
   \]

   То есть, сначала берём обратное число \( \frac{1}{b} \), а затем извлекаем из него седьмой корень.

   Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{b}}\).

3. Пример 3: \((ab)^{\frac{4}{7}}\)Здесь степень с дробным показателем применяется к произведению двух переменных \(a\) и \(b\). По свойствам степеней:

   \[
   (ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4} = \sqrt[7]{a^4 b^4}
   \]

   То есть, сначала возводим каждое из чисел \(a\) и \(b\) в четвёртую степень, а затем извлекаем седьмой корень из произведения этих степеней.

   Ответ: \(\sqrt[7]{a^4 b^4}\).

4. Пример 4: \((m+n)^{2,5}\)Дробный показатель степени \(2,5\) можно представить как \(\frac{5}{2}\), то есть:

   \[
   (m+n)^{2,5} = (m+n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m+n)^5} = \sqrt{(m+n)^5}
   \]

   Это означает, что сначала возводим сумму \(m+n\) в пятую степень, а затем извлекаем квадратный корень из результата.

   Ответ: \(\sqrt{(m+n)^5}\).

Вывод: любое выражение с дробным показателем степени \(a^{\frac{m}{n}}\) можно переписать в виде корня:

\[
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
\]

где \(n\) — знаменатель дроби, определяющий порядок корня, а \(m\) — числитель дроби, определяющий степень подкоренного выражения.

Это преобразование помогает упростить вычисления и понять структуру выражения, а также является основой для решения многих задач в алгебре и математическом анализе.