Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.1 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
1) \( 5^{\frac{1}{3}}; \)
2) \( b^{-\frac{1}{7}}; \)
3) \( (ab)^{\frac{4}{7}}; \)
4) \( (m+n)^{2,5}. \)
Представить степень с дробным показателем в виде корня:
1) \((5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}\);
Ответ: \(\sqrt[3]{5}\).
2) \((b^{-\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{\frac{1}{b^1}} = \frac{1}{\sqrt[7]{b}}\);
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{b}}\).
3) \((ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4} = \sqrt[7]{a^4 b^4}\)\);
Ответ: \(\sqrt[7]{a^4 b^4}\).
4) \((m + n)^{2,5} = (m + n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m + n)^5}\);
Ответ: \(\sqrt{(m + n)^5}\).
Представление степени с дробным показателем в виде корня — это важный приём в алгебре, который позволяет упростить работу с выражениями, содержащими степени с дробными показателями, и наглядно показать связь между степенями и корнями.
Рассмотрим подробно каждый из приведённых примеров:
- Пример 1: \(5^{\frac{1}{3}}\)Степень с показателем \(\frac{1}{3}\) означает третий корень из числа 5. Это можно записать так:
\[
5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}
\]Таким образом, возведение числа в степень с дробным показателем \(\frac{1}{3}\) эквивалентно извлечению кубического корня из этого числа.
Ответ: \(\sqrt[3]{5}\).
- Пример 2: \(b^{-\frac{1}{7}}\)Отрицательный показатель степени указывает на обратное число, а дробный показатель — на корень. Запишем это подробно:
\[
b^{-\frac{1}{7}} = \left(\frac{1}{b}\right)^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{\frac{1}{b^1}} = \frac{1}{\sqrt[7]{b}}
\]То есть, сначала берём обратное число \( \frac{1}{b} \), а затем извлекаем из него седьмой корень.
Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[7]{b}}\).
- Пример 3: \((ab)^{\frac{4}{7}}\)Здесь степень с дробным показателем применяется к произведению двух переменных \(a\) и \(b\). По свойствам степеней:
\[
(ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4} = \sqrt[7]{a^4 b^4}
\]То есть, сначала возводим каждое из чисел \(a\) и \(b\) в четвёртую степень, а затем извлекаем седьмой корень из произведения этих степеней.
Ответ: \(\sqrt[7]{a^4 b^4}\).
- Пример 4: \((m+n)^{2,5}\)Дробный показатель степени \(2,5\) можно представить как \(\frac{5}{2}\), то есть:
\[
(m+n)^{2,5} = (m+n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m+n)^5} = \sqrt{(m+n)^5}
\]Это означает, что сначала возводим сумму \(m+n\) в пятую степень, а затем извлекаем квадратный корень из результата.
Ответ: \(\sqrt{(m+n)^5}\).
Вывод: любое выражение с дробным показателем степени \(a^{\frac{m}{n}}\) можно переписать в виде корня:
\[
a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}
\]
где \(n\) — знаменатель дроби, определяющий порядок корня, а \(m\) — числитель дроби, определяющий степень подкоренного выражения.
Это преобразование помогает упростить вычисления и понять структуру выражения, а также является основой для решения многих задач в алгебре и математическом анализе.
