ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что a — положительное число. Представьте a в виде:
1) квадрата;
2) куба;
3) шестой степени;
4) восьмой степени.

Известно, что

\( a \) — положительное число;

Представить \( a \) в виде:

Квадрата:

\( a = \left( \sqrt{a} \right)^{2}; \)

Ответ: \( \left( \sqrt{a} \right)^{2} \).

Куба:

\( a = \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3}; \)

Ответ: \( \left( \sqrt[3]{a} \right)^{3} \).

Шестой степени:

\( a = \left( \sqrt[6]{a} \right)^{6}; \)

Ответ: \( \left( \sqrt[6]{a} \right)^{6} \).

Восьмой степени:

\( a = \left( \sqrt[8]{a} \right)^{8}; \)

Ответ: \( \left( \sqrt[8]{a} \right)^{8} \).

Известно, что \(a\) — положительное число. Это важно, поскольку для положительных чисел определены все корни и степени с дробными показателями, а также справедливо равенство между степенями и корнями, которое мы будем использовать ниже.

Представим число \(a\) в виде степени с разными показателями, используя свойства степеней и корней.

1. Квадрат:Число \(a\) можно представить как степень с показателем 1:\[
   a = a^{1}.
   \]Показатель 1 можно записать как дробь с одинаковым числителем и знаменателем, например, \(\frac{2}{2}\):

   \[
   a = a^{\frac{2}{2}}.
   \]

   Используя свойство степеней, что \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}\), получаем:

   \[
   a = \sqrt[2]{a^{2}}.
   \]

   Корень второй степени — это обычный квадратный корень, поэтому:

   \[
   a = \left(\sqrt{a}\right)^{2}.
   \]

   Таким образом, число \(a\) представлено в виде квадрата числа \(\sqrt{a}\).

   Ответ: \(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\).

2. Куб:Аналогично, показатель 1 можно записать как \(\frac{3}{3}\):\[
   a = a^{1} = a^{\frac{3}{3}}.
   \]Используем свойство степеней с дробным показателем:

   \[
   a = \sqrt[3]{a^{3}}.
   \]

   Это можно переписать как куб числа \(\sqrt[3]{a}\):

   \[
   a = \left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}.
   \]

   Таким образом, \(a\) представлено в виде куба числа \(\sqrt[3]{a}\).

   Ответ: \(\left(\sqrt[3]{a}\right)^{3}\).

3. Шестая степень:Показатель 1 можно представить как \(\frac{6}{6}\):\[
   a = a^{1} = a^{\frac{6}{6}}.
   \]Используя свойства степеней, получаем:

   \[
   a = \sqrt[6]{a^{6}}.
   \]

   Это можно представить как шестую степень корня шестой степени из \(a\):

   \[
   a = \left(\sqrt[6]{a}\right)^{6}.
   \]

   Таким образом, число \(a\) выражено в виде шестой степени числа \(\sqrt[6]{a}\).

   Ответ: \(\left(\sqrt[6]{a}\right)^{6}\).

4. Восьмая степень:Показатель 1 можно записать как \(\frac{8}{8}\):\[
   a = a^{1} = a^{\frac{8}{8}}.
   \]По свойству степеней с дробными показателями:

   \[
   a = \sqrt[8]{a^{8}}.
   \]

   Это можно переписать как восьмую степень корня восьмой степени из \(a\):

   \[
   a = \left(\sqrt[8]{a}\right)^{8}.
   \]

   Таким образом, \(a\) представлено в виде восьмой степени числа \(\sqrt[8]{a}\).

   Ответ: \(\left(\sqrt[8]{a}\right)^{8}\).

В общем виде, для любого натурального числа \(n\) можно записать:

\[
a = a^{1} = a^{\frac{n}{n}} = \sqrt[n]{a^{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{n}.
\]

Это показывает, что любое положительное число \(a\) можно представить как \(n\)-тую степень корня \(n\)-й степени из него самого.