Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Известно, что b — положительное число. Представьте в виде куба выражение:
1) b^2;
2) b^(1/2);
3) b^(1/3);
4) b^(-1,8);
5) b^(7/11).
Известно, что \( b \) — положительное число;
Представить в виде куба выражение:
1) \( b^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = \left( b^{\frac{2}{3}} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{b^2} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b^2} \right)^3 \).
2) \( b^{\frac{1}{3}} \cdot b^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = b^6 = \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \).
3) \( b^{\frac{1}{3}} \cdot b^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9 = \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \).
4) \( b^{-1.8} = b^{-\frac{18}{10}} = b^{-\frac{9}{5}} = b^{-\frac{3 \cdot 3}{5}} = \left( b^{-\frac{3}{5}} \right)^3 = \left( \frac{1}{\sqrt[5]{b^3}} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \frac{1}{\sqrt[5]{b^3}} \right)^3 \).
5) \( b^{11} = b^{11 — 3} = b^{33} = \left( b^{\frac{33}{7}} \right)^3 = \left( \sqrt[7]{b^7} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[7]{b^7} \right)^3 \).
Известно, что \(b\) — положительное число. Это важно, так как для положительных чисел определены корни и степени с дробными показателями, а также справедливы основные свойства степеней, которые мы будем использовать для преобразования выражений.
Ниже приведены подробные шаги для представления различных выражений с основанием \(b\) в виде куба некоторого выражения.
- Выражение \(b^2\):Запишем показатель степени 2 в виде дроби с знаменателем 3:
\[
b^{2} = b^{\frac{2 \cdot 3}{3}} = \left(b^{\frac{2}{3}}\right)^{3}.
\]Используя определение корня, степень с дробным показателем можно представить как корень:
\[
b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^{2}}.
\]Следовательно, исходное выражение можно записать как куб корня третьей степени:
\[
b^{2} = \left(\sqrt[3]{b^{2}}\right)^{3}.
\]Ответ: \(\left(\sqrt[3]{b^{2}}\right)^{3}\).
- Выражение \(b^{\frac{1}{2}}\):Представим показатель \(\frac{1}{2}\) как дробь с знаменателем 3:
\[
b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{3}{6}} = \left(b^{\frac{1}{6}}\right)^{3}.
\]Используем корень шестой степени:
\[
b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}.
\]Таким образом,
\[
b^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt[6]{b}\right)^{3}.
\]Ответ: \(\left(\sqrt[6]{b}\right)^{3}\).
- Выражение \(b^{\frac{1}{3}}\):Показатель \(\frac{1}{3}\) можно представить с знаменателем 9:
\[
b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{3}{9}} = \left(b^{\frac{1}{9}}\right)^{3}.
\]Корень девятой степени:
\[
b^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{b}.
\]Итог:
\[
b^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[9]{b}\right)^{3}.
\]Ответ: \(\left(\sqrt[9]{b}\right)^{3}\).
- Выражение \(b^{-1.8}\):Переведём десятичный показатель в дробь:
\[
-1.8 = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5}.
\]Запишем степень с показателем \(-\frac{9}{5}\) как куб степени с показателем \(-\frac{3}{5}\):
\[
b^{-1.8} = b^{-\frac{9}{5}} = \left(b^{-\frac{3}{5}}\right)^{3}.
\]Отрицательная степень означает обратное значение, поэтому:
\[
b^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{b^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}.
\]Итоговое представление:
\[
b^{-1.8} = \left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}\right)^{3}.
\]Ответ: \(\left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}\right)^{3}\).
- Выражение \(b^{\frac{7}{11}}\):Запишем показатель степени с общим знаменателем 33:
\[
b^{\frac{7}{11}} = b^{\frac{7 \cdot 3}{11 \cdot 3}} = b^{\frac{21}{33}} = \left(b^{\frac{7}{33}}\right)^{3}.
\]Используем корень тридцать третьей степени:
\[
b^{\frac{7}{33}} = \sqrt[33]{b^{7}}.
\]Таким образом,
\[
b^{\frac{7}{11}} = \left(\sqrt[33]{b^{7}}\right)^{3}.
\]Ответ: \(\left(\sqrt[33]{b^{7}}\right)^{3}\).
В общем случае, любое выражение с показателем степени, который можно представить в виде дроби с числителем \(m\) и знаменателем \(n\), можно переписать как куб некоторого выражения, если знаменатель дроби умножить на 3, а числитель — разделить соответственно, чтобы получить степень с показателем, делящимся на 3. Это позволяет записать исходное выражение в виде куба корня соответствующей степени.
Алгебра
