ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Известно, что \( b \) — положительное число. Представьте в виде куба выражение:

1) \( b^2\);

2) \( b^{\frac{1}{2}}\);

3) \( b^{\frac{1}{3}}\);

4) \( b^{-1.8}\);

5) \( b^{11}\).

Известно, что \( b \) — положительное число;
Представить в виде куба выражение:

1) \( b^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = \left( b^{\frac{2}{3}} \right)^3 = \left( \sqrt[3]{b^2} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b^2} \right)^3 \).

2) \( b^{\frac{1}{3}} \cdot b^2 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = b^6 = \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \).

3) \( b^{\frac{1}{3}} \cdot b^3 = b^{3 \cdot 3} = b^9 = \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[3]{b} \right)^3 \).

4) \( b^{-1.8} = b^{-\frac{18}{10}} = b^{-\frac{9}{5}} = b^{-\frac{3 \cdot 3}{5}} = \left( b^{-\frac{3}{5}} \right)^3 = \left( \frac{1}{\sqrt[5]{b^3}} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \frac{1}{\sqrt[5]{b^3}} \right)^3 \).

5) \( b^{11} = b^{11 — 3} = b^{33} = \left( b^{\frac{33}{7}} \right)^3 = \left( \sqrt[7]{b^7} \right)^3 \);
Ответ: \( \left( \sqrt[7]{b^7} \right)^3 \).

Известно, что \(b\) — положительное число. Это важно, так как для положительных чисел определены корни и степени с дробными показателями, а также справедливы основные свойства степеней, которые мы будем использовать для преобразования выражений.

Ниже приведены подробные шаги для представления различных выражений с основанием \(b\) в виде куба некоторого выражения.

1. Выражение \(b^2\):Запишем показатель степени 2 в виде дроби с знаменателем 3:\[
   b^{2} = b^{\frac{2 \cdot 3}{3}} = \left(b^{\frac{2}{3}}\right)^{3}.
   \]

   Используя определение корня, степень с дробным показателем можно представить как корень:

   \[
   b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^{2}}.
   \]

   Следовательно, исходное выражение можно записать как куб корня третьей степени:

   \[
   b^{2} = \left(\sqrt[3]{b^{2}}\right)^{3}.
   \]

   Ответ: \(\left(\sqrt[3]{b^{2}}\right)^{3}\).

2. Выражение \(b^{\frac{1}{2}}\):Представим показатель \(\frac{1}{2}\) как дробь с знаменателем 3:\[
   b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{3}{6}} = \left(b^{\frac{1}{6}}\right)^{3}.
   \]

   Используем корень шестой степени:

   \[
   b^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{b}.
   \]

   Таким образом,

   \[
   b^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt[6]{b}\right)^{3}.
   \]

   Ответ: \(\left(\sqrt[6]{b}\right)^{3}\).

3. Выражение \(b^{\frac{1}{3}}\):Показатель \(\frac{1}{3}\) можно представить с знаменателем 9:\[
   b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{3}{9}} = \left(b^{\frac{1}{9}}\right)^{3}.
   \]

   Корень девятой степени:

   \[
   b^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{b}.
   \]

   Итог:

   \[
   b^{\frac{1}{3}} = \left(\sqrt[9]{b}\right)^{3}.
   \]

   Ответ: \(\left(\sqrt[9]{b}\right)^{3}\).

4. Выражение \(b^{-1.8}\):Переведём десятичный показатель в дробь:\[
   -1.8 = -\frac{18}{10} = -\frac{9}{5}.
   \]

   Запишем степень с показателем \(-\frac{9}{5}\) как куб степени с показателем \(-\frac{3}{5}\):

   \[
   b^{-1.8} = b^{-\frac{9}{5}} = \left(b^{-\frac{3}{5}}\right)^{3}.
   \]

   Отрицательная степень означает обратное значение, поэтому:

   \[
   b^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{b^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}.
   \]

   Итоговое представление:

   \[
   b^{-1.8} = \left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}\right)^{3}.
   \]

   Ответ: \(\left(\frac{1}{\sqrt[5]{b^{3}}}\right)^{3}\).

5. Выражение \(b^{\frac{7}{11}}\):Запишем показатель степени с общим знаменателем 33:\[
   b^{\frac{7}{11}} = b^{\frac{7 \cdot 3}{11 \cdot 3}} = b^{\frac{21}{33}} = \left(b^{\frac{7}{33}}\right)^{3}.
   \]

   Используем корень тридцать третьей степени:

   \[
   b^{\frac{7}{33}} = \sqrt[33]{b^{7}}.
   \]

   Таким образом,

   \[
   b^{\frac{7}{11}} = \left(\sqrt[33]{b^{7}}\right)^{3}.
   \]

   Ответ: \(\left(\sqrt[33]{b^{7}}\right)^{3}\).

В общем случае, любое выражение с показателем степени, который можно представить в виде дроби с числителем \(m\) и знаменателем \(n\), можно переписать как куб некоторого выражения, если знаменатель дроби умножить на 3, а числитель — разделить соответственно, чтобы получить степень с показателем, делящимся на 3. Это позволяет записать исходное выражение в виде куба корня соответствующей степени.