Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Раскройте скобки:
1) \( 2a^{\frac{1}{2}} \left( a^{\frac{1}{2}} — 4 \right) + 8a^2; \)
2) \( \left( a^{0.5} — 3b^{0.3} \right) \left( 2a^{0.5} + b^{0.3} \right); \)
3) \( \left( 3b^{\frac{3}{3}} — c^{\frac{2}{2}} \right) \left( 3b^{\frac{3}{3}} + c^{\frac{2}{2}} \right); \)
4) \( \left( a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} \right)^2; \)
5) \( \left( a^{\frac{1}{2}} — \frac{1}{4}b^{\frac{1}{6}} \right)^2; \)
6) \( \left( b^{0.4} + 3 \right)^2 — 6b^{0.4}; \)
7) \( \left( c^{\frac{1}{3}} — 1 \right) \left( c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} \right); \)
8) \( \left( a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}} \right) \left( a^{\frac{2}{3}} — a^6 + a \right); \)
9) \( \left( a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}} \right) \left( a^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}} \right) \left( a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{6}} \right); \)
10) \( \left( x^{\frac{2}{9}} — 1 \right) \left( x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}+1} \right) \left( x^{\frac{2}{3}} + 1 \right); \)
Раскрыть скобки:
1) \[2a^{\frac{1}{2}} (a^2 — 4) + 8a^2 = 2a^{\frac{1}{2} + 2} — 8a^2 + 8a^2 = 2a^2 = 2a;\]
2) \[(a^{0,5} — 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3}) = 2a^{0,5+0,5} + a^{0,5}b^{0,3} — 6a^{0,5}b^{0,3} — 3b^{0,3+0,3} =\]
\[= 2a^1 — 5a^{0,5}b^{0,3} — 3b^{0,6} = 2a — 5a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{10}} — 3b^{\frac{3}{5}} =\]
\[2a — 5\sqrt{a} \cdot \sqrt[10]{b^3} — 3\sqrt[5]{b^3};\]
3) \[(3b^3 — c^2)(3b^3 + c^2) = 9b^3 \cdot 3 + 3b^3c^2 — 3b^3c^2 — c^2 \cdot 2 = 9b^3 — c^2 =\]
\[= 9b^{\frac{4}{3}} — c^3 = 9\sqrt[3]{b} \cdot b^3 — c^3 = 9b \cdot \sqrt[3]{b} — c^3;\]
4) \[(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2};\]
5) \(\left(a^{\frac{1}{2}} — \frac{a^{\frac{1}{6}}}{4}\right)^2 = a^{\frac{2}{2}} — \frac{2}{4}a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{\frac{2}{6}} =\)
\[= a^{-1} — \frac{1}{2}a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{2}{6}} + a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16} =\]
\[-\frac{1}{a} — \frac{1}{2}a^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{16a^3} = \frac{1}{a} — \frac{1}{2\sqrt[3]{a^2}} + \frac{1}{16\sqrt[3]{a}};\]
6) \[(b^{0,4} + 3)^2 — 6b^{0,4} = b^{2 \cdot 0,4} + 6b^{0,4} + 9 — 6b^{0,4} = b^{0,8} + 9 =\]
\[= b^{10} + 9 = b^{5} + 9 = \sqrt[4]{b^4} + 9;\]
7) \[(c^3 — 1)(c^3 + c^3 + 1) = c^3 — 1^3 = c — 1;\]
8) \[(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{5}{6}} + a) = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{3}{3}} = a + \sqrt[3]{a^3};\]
9) \[(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) =\]
\[= a^{\frac{1}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^2} — 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2};\]
10) \[(x^9 — 1)(x^3 + x^5 + 1)(x^3 + 1) = (x^7 — 13)(x^3 ) =\]
\[= x^{2 — 2} = x^{3 — 1} = x^{3 — 1} = x^{3 — 1} = \sqrt[3]{x^4} — 1\]
Раскрыть скобки (подробное объяснение):
- \(2a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 4 \right) + 8a^{\frac{1}{2}}\)Раскроем скобки, умножая каждый член внутри скобок на \(2a^{\frac{1}{2}}\):\[
2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} — 2a^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} — 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}}.
\]Сложим показатели степеней в первом слагаемом, так как основания одинаковые:\[
2a^{1} — 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a + 0 = 2a.
\]Ответ: \(2a\). - \((a^{0.5} — 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3})\)Раскроем скобки по формуле произведения двух двучленов:\[
a^{0.5} \cdot 2a^{0.5} + a^{0.5} \cdot b^{0.3} — 3b^{0.3} \cdot 2a^{0.5} — 3b^{0.3} \cdot b^{0.3}.
\]Выполним умножение степеней с одинаковым основанием, складывая показатели:
\[2a^{0.5 + 0.5} + a^{0.5} b^{0.3} — 6a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.3 + 0.3}= \]\[= 2a^{1} + a^{0.5} b^{0.3} — 6a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.6}.\]
Объединим подобные члены:
\[2a — 5a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.6}.\]
Выразим дробные показатели степеней через корни:\[
a^{0.5} = \sqrt{a}, \quad b^{0.3} = b^{\frac{3}{10}} = \sqrt[10]{b^{3}}, \quad b^{0.6} = b^{\frac{6}{10}} = b^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{b^{3}}.
\]Итоговое выражение:
\[
2a — 5 \sqrt{a} \sqrt[10]{b^{3}} — 3 \sqrt[5]{b^{3}}.
\] - \(\left(3b^{\frac{3}{2}} — c^{\frac{3}{2}}\right)\left(3b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}\right)\)Это разность квадратов, раскроем по формуле \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\):\[
(3b^{\frac{3}{2}})^2 — (c^{\frac{3}{2}})^2 = 9b^{3} — c^{3}.
\]Выразим степени через корни:\[
9b^{3} = 9 \cdot b \cdot b^{2} = 9b \cdot b^{2} = 9b \cdot \sqrt[3]{b^{3}} = 9b \cdot b,
\]но проще оставить как \(9b^{3}\).Для \(c^{3}\) аналогично.Итог:\[
9b^{3} — c^{3}.
\] - \(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2\)Раскроем квадрат суммы:\[
a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
\]Представим через корни:\[
\sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}.
\] - \(\left(a^{\frac{1}{2}} — \frac{1}{4} a^{\frac{1}{6}}\right)^2\)Раскроем квадрат разности:\[
a^{1} — 2 \cdot \frac{1}{4} a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 a^{\frac{1}{3}} = a — \frac{1}{2} a^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{16} a^{\frac{1}{3}}.
\]Выразим через корни:\[
a — \frac{1}{2} \sqrt[3]{a^{2}} + \frac{1}{16} \sqrt[3]{a}.
\] - \((b^{0.4} + 3)^2 — 6b^{0.4}\)Раскроем квадрат суммы:\[
b^{0.8} + 2 \cdot 3 b^{0.4} + 9 — 6b^{0.4} = b^{0.8} + 6b^{0.4} + 9 — 6b^{0.4} = b^{0.8} + 9.
\]Выразим через корни:\[
b^{\frac{8}{10}} + 9 = b^{\frac{4}{5}} + 9 = \sqrt[5]{b^{4}} + 9.
\] - \(\left(c^{\frac{1}{3}} — 1\right)\left(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1\right)\)Используем формулу разности кубов:\[
c^{1} — 1^{3} = c — 1.
\] - \(\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right) \left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{5}{6}} + a\right)\)Раскроем произведение:\[
a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{3} + 1} + a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{2} + 1}.
\]Вычислим показатели степеней:\[
a^{1} — a^{\frac{7}{6}} + a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{7}{6}} — a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{3}{2}}.
\]Сократим противоположные члены:\[
a + a^{\frac{3}{2}} = a + \sqrt{a^{3}}.
\] - \(\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right) \left(a^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)\)Сначала перемножим первые два множителя — разность квадратов:\[
a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}.
\]Теперь перемножим с третьим множителем:\[
\left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
\]Или через корни:\[
\sqrt[3]{a^{2}} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}.
\] - \(\left(x^{\frac{2}{3}} — 1\right) \left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right) \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)\)Сначала перемножим первые два множителя — разность кубов:\[
x^{2} — 1.
\]Теперь перемножим с третьим множителем:\[
(x^{2} — 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1) = x^{2 + \frac{2}{3}} + x^{2} — x^{\frac{2}{3}} — 1 = x^{\frac{8}{3}} — 1.
\]Выразим через корни:\[
\sqrt[3]{x^{4}} — 1.
\]
