ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Раскройте скобки:
1) 2a^(1/2)(a^(1/2)-4)+8a^(1/2);
2) (a^0,5-3b^0,3)(2a^0,5+b^0,3);
3) (3b^(2/3)-c^(3/2))(3b^(2/3)+c^(3/2));
4) (a^(1/3)+b^(1/3))^2;
5) (a^(-1/2)-(1/4)a^(-1/6))^2;
6) (b^0,4+3)^2-6b^0,4;
7) (c^(1/3)-1)(c^(2/3)+c^(1/3)+1);
8) (a^(1/3)+a^(1/2))(a^(2/3)-a^(5/6)+a);
9) (a^(1/6)+b^(1/6))(a^(1/6)-b^(1/6))(a^(1/3)-b^(1/3));
10) (x^(2/9)-1)(x^(4/9)+x^(2/9)+1)(x^(2/3)+1).

Раскрыть скобки:

1) \[2a^{\frac{1}{2}} (a^2 — 4) + 8a^2 = 2a^{\frac{1}{2} + 2} — 8a^2 + 8a^2 = 2a^2 = 2a;\]

2) \[(a^{0,5} — 3b^{0,3})(2a^{0,5} + b^{0,3}) = 2a^{0,5+0,5} + a^{0,5}b^{0,3} — 6a^{0,5}b^{0,3} — 3b^{0,3+0,3} =\]

\[= 2a^1 — 5a^{0,5}b^{0,3} — 3b^{0,6} = 2a — 5a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{3}{10}} — 3b^{\frac{3}{5}} =\]

\[2a — 5\sqrt{a} \cdot \sqrt[10]{b^3} — 3\sqrt[5]{b^3};\]

3) \[(3b^3 — c^2)(3b^3 + c^2) = 9b^3 \cdot 3 + 3b^3c^2 — 3b^3c^2 — c^2 \cdot 2 = 9b^3 — c^2 =\]

\[= 9b^{\frac{4}{3}} — c^3 = 9\sqrt[3]{b} \cdot b^3 — c^3 = 9b \cdot \sqrt[3]{b} — c^3;\]

4) \[(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{1}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^2} + 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2};\]

5) \(\left(a^{\frac{1}{2}} — \frac{a^{\frac{1}{6}}}{4}\right)^2 = a^{\frac{2}{2}} — \frac{2}{4}a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{\frac{2}{6}} =\)

\[= a^{-1} — \frac{1}{2}a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{2}{6}} + a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16} =\]

\[-\frac{1}{a} — \frac{1}{2}a^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{16a^3} = \frac{1}{a} — \frac{1}{2\sqrt[3]{a^2}} + \frac{1}{16\sqrt[3]{a}};\]

6) \[(b^{0,4} + 3)^2 — 6b^{0,4} = b^{2 \cdot 0,4} + 6b^{0,4} + 9 — 6b^{0,4} = b^{0,8} + 9 =\]

\[= b^{10} + 9 = b^{5} + 9 = \sqrt[4]{b^4} + 9;\]

7) \[(c^3 — 1)(c^3 + c^3 + 1) = c^3 — 1^3 = c — 1;\]

8) \[(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{5}{6}} + a) = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{3}{3}} = a + \sqrt[3]{a^3};\]

9) \[(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}) =\]

\[= a^{\frac{1}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a^2} — 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2};\]

10) \[(x^9 — 1)(x^3 + x^5 + 1)(x^3 + 1) = (x^7 — 13)(x^3 + 1) =\]

\[= x^{2 — 2} = x^{3 — 1} = x^{3 — 1} = x^{3 — 1} = \sqrt[4]{x^4 — 1}.\]

Раскрыть скобки (подробное объяснение):

1. \(2a^{\frac{1}{2}} \left(a^{\frac{1}{2}} — 4 \right) + 8a^{\frac{1}{2}}\)Раскроем скобки, умножая каждый член внутри скобок на \(2a^{\frac{1}{2}}\):\[
   2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} — 2a^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} — 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}}.
   \]Сложим показатели степеней в первом слагаемом, так как основания одинаковые:\[
   2a^{1} — 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a + 0 = 2a.
   \]Ответ: \(2a\).
2. \((a^{0.5} — 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3})\)Раскроем скобки по формуле произведения двух двучленов:\[
   a^{0.5} \cdot 2a^{0.5} + a^{0.5} \cdot b^{0.3} — 3b^{0.3} \cdot 2a^{0.5} — 3b^{0.3} \cdot b^{0.3}.
   \]Выполним умножение степеней с одинаковым основанием, складывая показатели:\[
   2a^{0.5 + 0.5} + a^{0.5} b^{0.3} — 6a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.3 + 0.3} = 2a^{1} + a^{0.5} b^{0.3} — 6a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.6}.
   \]Объединим подобные члены:

   \[
   2a — 5a^{0.5} b^{0.3} — 3b^{0.6}.
   \]

   Выразим дробные показатели степеней через корни:

   \[
   a^{0.5} = \sqrt{a}, \quad b^{0.3} = b^{\frac{3}{10}} = \sqrt[10]{b^{3}}, \quad b^{0.6} = b^{\frac{6}{10}} = b^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{b^{3}}.
   \]

   Итоговое выражение:

   \[
   2a — 5 \sqrt{a} \sqrt[10]{b^{3}} — 3 \sqrt[5]{b^{3}}.
   \]

3. \(\left(3b^{\frac{3}{2}} — c^{\frac{3}{2}}\right)\left(3b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}\right)\)Это разность квадратов, раскроем по формуле \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\):\[
   (3b^{\frac{3}{2}})^2 — (c^{\frac{3}{2}})^2 = 9b^{3} — c^{3}.
   \]Выразим степени через корни:\[
   9b^{3} = 9 \cdot b \cdot b^{2} = 9b \cdot b^{2} = 9b \cdot \sqrt[3]{b^{3}} = 9b \cdot b,
   \]но проще оставить как \(9b^{3}\).

   Для \(c^{3}\) аналогично.

   Итог:

   \[
   9b^{3} — c^{3}.
   \]

4. \(\left(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}\right)^2\)Раскроем квадрат суммы:\[
   a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
   \]Представим через корни:\[
   \sqrt[3]{a^{2}} + 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}.
   \]
5. \(\left(a^{\frac{1}{2}} — \frac{1}{4} a^{\frac{1}{6}}\right)^2\)Раскроем квадрат разности:\[
   a^{1} — 2 \cdot \frac{1}{4} a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6}} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 a^{\frac{1}{3}} = a — \frac{1}{2} a^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{16} a^{\frac{1}{3}}.
   \]Выразим через корни:\[
   a — \frac{1}{2} \sqrt[3]{a^{2}} + \frac{1}{16} \sqrt[3]{a}.
   \]
6. \((b^{0.4} + 3)^2 — 6b^{0.4}\)Раскроем квадрат суммы:\[
   b^{0.8} + 2 \cdot 3 b^{0.4} + 9 — 6b^{0.4} = b^{0.8} + 6b^{0.4} + 9 — 6b^{0.4} = b^{0.8} + 9.
   \]Выразим через корни:\[
   b^{\frac{8}{10}} + 9 = b^{\frac{4}{5}} + 9 = \sqrt[5]{b^{4}} + 9.
   \]
7. \(\left(c^{\frac{1}{3}} — 1\right)\left(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1\right)\)Используем формулу разности кубов:\[
   c^{1} — 1^{3} = c — 1.
   \]
8. \(\left(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}}\right) \left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{5}{6}} + a\right)\)Раскроем произведение:\[
   a^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{3} + 1} + a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{2} + \frac{5}{6}} + a^{\frac{1}{2} + 1}.
   \]Вычислим показатели степеней:\[
   a^{1} — a^{\frac{7}{6}} + a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{7}{6}} — a^{\frac{4}{3}} + a^{\frac{3}{2}}.
   \]Сократим противоположные члены:

   \[
   a + a^{\frac{3}{2}} = a + \sqrt{a^{3}}.
   \]

9. \(\left(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}\right) \left(a^{\frac{1}{6}} — b^{\frac{1}{6}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)\)Сначала перемножим первые два множителя — разность квадратов:\[
   a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}.
   \]Теперь перемножим с третьим множителем:\[
   \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right) = \left(a^{\frac{1}{3}} — b^{\frac{1}{3}}\right)^2 = a^{\frac{2}{3}} — 2a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.
   \]Или через корни:

   \[
   \sqrt[3]{a^{2}} — 2 \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^{2}}.
   \]

10. \(\left(x^{\frac{2}{3}} — 1\right) \left(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1\right) \left(x^{\frac{2}{3}} + 1\right)\)Сначала перемножим первые два множителя — разность кубов:\[
    x^{2} — 1.
    \]Теперь перемножим с третьим множителем:\[
    (x^{2} — 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1) = x^{2 + \frac{2}{3}} + x^{2} — x^{\frac{2}{3}} — 1 = x^{\frac{8}{3}} — 1.
    \]Выразим через корни:

    \[
    \sqrt[3]{x^{4}} — 1.
    \]