Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.16 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
1) \( \left( 343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}}; \)
2) \( 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}; \)
3) \( 0.0016^{\frac{3}{4}} — 0.04^{\frac{1}{2}} + 0.216^{\frac{2}{3}}; \)
4) \( \frac{32^{0.24} \cdot 4^{0.7}}{64^{0.6} \cdot 16^{0.25}}; \)
5) \( \frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}}; \)
6) \( \left( \frac{5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{16}{3^{\frac{2}{3}}} \right)^{-1.5}; \)
Рассмотрим поэтапно вычисление каждого выражения.
1) Выражение:\[
\left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}
\]Перепишем числа в виде степеней с основанием 7:
\[
343 = 7^3, \quad 49 = 7^2
\]
Тогда:
\[
\left( (7^3)^{\frac{1}{2}} \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{2} — \frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} = 7^{1} = 7
\]
Ответ: 7.
2) Выражение:\[
10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}
\]Разложим числа на простые множители:
\[
10 = 2 \cdot 5, \quad 40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5
\]
Подставим и применим свойства степеней:
\[(2 \cdot 5)^{\frac{1}{4}} \cdot (2^3 \cdot 5)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}=\]
\[= 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}=\]
\[= 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = 2^{1} \cdot 5^{1} = 10\]
Ответ: 10.
\[
3) \quad 0{,}0016^{-\frac{3}{4}} — 0{,}04^{-\frac{1}{2}} + 0{,}216^{-\frac{2}{3}} =\]
\[=\left(\frac{16}{10\,000}\right)^{-\frac{3}{4}}-\]
\[- \left(\frac{4}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{216}{1\,000}\right)^{-\frac{2}{3}} =\]
\[= \left(\frac{2^4}{10^4}\right)^{-\frac{3}{4}} — \left(\frac{2^2}{10^2}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}} =\]
\[=\left(\frac{2}{10}\right)^{-3} — \left(\frac{2}{10}\right)^{-1}+\]
\[+ \left(\frac{6}{10}\right)^{-2} =\]
\[= \left(\frac{10}{2}\right)^3 — \frac{10}{2} + \left(\frac{10}{6}\right)^2=\]
\[= 5^3 — 5 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 125 — 5 + \frac{25}{9} = 120 + 2 \frac{7}{9} = 122 \frac{7}{9};\]
Ответ: \(122 \frac{7}{9};\)
\[
4) \quad \frac{32^{0.24} \cdot 4^{0.7}}{64^{0.6} \cdot 16^{0.25}} =\frac{(2^5)^{0.24} \cdot (2^2)^{0.7}}{(2^6)^{0.6} \cdot (2^4)^{0.25}} =\frac{2^{1.2} \cdot 2^{1.4}}{2^{3.6} \cdot 2^{1}} =\]
\[=2^{1.2 + 1.4 — 3.6 — 1} = 2^{-2} =\]
\[= \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25;\]
Ответ: 0.25.
5) Выражение:\[
12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}} \div \left( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \right)
\]Разложим:
\[
12 = 3 \cdot 2^2, \quad 8 = 2^3
\]
Подставим:
\[
\frac{(3 \cdot 2^2)^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}} = \frac{3^{1} \cdot 2^{1} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{7}{6}}}
\]
Упростим показатель степени двойки:
\[
2^{1 — \frac{7}{6}} = 2^{-\frac{1}{6}}
\]
Итог:
\[
3 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{6}} \approx 21
\]
6) Выражение:\[
\left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1,5}
\]Разложим и упростим:
\[
15 = 3 \cdot 5
\]
Тогда:
\[
\left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{(3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1,5} = \left(\frac{1}{5^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1,5} = \left(\frac{2^{\frac{16}{3}}}{5^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}
\]
Возводим в степень:
\[
= \left(\frac{2^{16}}{5^{4} \cdot 3^{4}}\right)^{-\frac{3}{2}} = \frac{5^{6} \cdot 3^{6}}{2^{24}} = \frac{225}{256}
\]
Ответ: \(\frac{225}{256}\).
1) Выражение: \( \left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} \)
Перепишем числа в виде степеней с основанием 7:
\( 343 = 7^3, \quad 49 = 7^2 \)
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
\( \left( (7^3)^{\frac{1}{2}} \cdot (7^{-2})^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} \)
Используя свойства степеней, получаем:
\( = \left( 7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} \)
Теперь преобразуем показатели степеней:
\( = \left( 7^{\frac{3}{2} — \frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} = \left( 7^{\frac{3}{4}} \right)^{\frac{4}{3}} \)
Возводим в степень:
\( = 7^{1} = 7 \)
Ответ: 7.
2) Выражение: \( 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
Разложим числа на простые множители:
\( 10 = 2 \cdot 5, \quad 40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 \)
Теперь подставим эти разложения в выражение:
\( (2 \cdot 5)^{\frac{1}{4}} \cdot (2^3 \cdot 5)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
Применяем свойства степеней для каждого множителя:
\( = 2^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} \)
Теперь складываем показатели степеней для одинаковых оснований:
\( = 2^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}} = 2^{1} \cdot 5^{1} = 10 \)
Ответ: 10.
3) Выражение: \( 0.0016^{-\frac{3}{4}} — 0.04^{-\frac{1}{2}} + 0.216^{-\frac{2}{3}} = \)
Представим числа в виде дробей:
\( = \left(\frac{16}{10\,000}\right)^{-\frac{3}{4}} — \left(\frac{4}{100}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{216}{1\,000}\right)^{-\frac{2}{3}} \)
Теперь, разлагаем дроби и представляем их в виде степеней чисел:
\( = \left(\frac{2^4}{10^4}\right)^{-\frac{3}{4}} — \left(\frac{2^2}{10^2}\right)^{-\frac{1}{2}} + \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}} \)
Теперь применяем свойства степеней, получаем:
\( = \left(\frac{2}{10}\right)^{-3} — \left(\frac{2}{10}\right)^{-1} + \left(\frac{6}{10}\right)^{-2} \)
Вычисляем каждое слагаемое отдельно:
\( = \left(\frac{10}{2}\right)^3 — \frac{10}{2} + \left(\frac{10}{6}\right)^2 = 5^3 — 5 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 \)
После вычислений получаем:
\( = 125 — 5 + \frac{25}{9} = 120 + 2 \frac{7}{9} = 122 \frac{7}{9}; \)
Ответ: \( 122 \frac{7}{9}; \)
4) Выражение: \( \frac{32^{0.24} \cdot 4^{0.7}}{64^{0.6} \cdot 16^{0.25}} = \frac{(2^5)^{0.24} \cdot (2^2)^{0.7}}{(2^6)^{0.6} \cdot (2^4)^{0.25}} = \)
Используем свойства степеней, чтобы упростить выражение:
\( = \frac{2^{1.2} \cdot 2^{1.4}}{2^{3.6} \cdot 2^{1}} = 2^{1.2 + 1.4 — 3.6 — 1} = 2^{-2} \)
В результате получаем:
\( = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25; \)
Ответ: 0.25.
5) Выражение: \( 12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}} \div \left( 2^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{2}} \right) \)
Разложим числа на простые множители:
\( 12 = 3 \cdot 2^2, \quad 8 = 2^3 \)
Подставим разложения и применим свойства степеней:
\( \frac{(3 \cdot 2^2)^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{2}{3}} \cdot (2^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}} \)
Складываем показатели степеней для одинаковых оснований:
\( = \frac{3^{1} \cdot 2^{1} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{2^{\frac{7}{6}}} \)
Упростим показатель степени двойки:
\( 2^{1 — \frac{7}{6}} = 2^{-\frac{1}{6}} \)
Итоговое выражение:
\( 3 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{6}} \approx 21 \)
6) Выражение: \( \left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1.5} \)
Разложим и упростим выражение:
\( 15 = 3 \cdot 5 \)
Подставляем в выражение и упрощаем:
\( \left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{(3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1.5} = \left(\frac{1}{5^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1.5} \)
Возводим в степень:
\( = \left(\frac{2^{\frac{16}{3}}}{5^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}}\right)^{-1.5} = \frac{5^{6} \cdot 3^{6}}{2^{24}} = \frac{225}{256} \)
Ответ: \( \frac{225}{256} \).
