Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.19 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте данное выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) a — b;
2) a3 — b3;
3) x1/2 — 3;
4) x1/3 — y1/7;
Представить данное выражение в виде разности квадратов и разложить его на множители:
1)
\[
a — b = a^{\frac{2}{2}} — b^{\frac{2}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right) = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}).
\]
Ответ: \((\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})\).
2)
\[a^3 — b^3 = a^{\frac{3 \cdot 2}{2}} — b^{\frac{3 \cdot 2}{2}} = \left(a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}\right)\left(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}\right)=\]
\[= (\sqrt[3]{a^3} — \sqrt[3]{b^3})(\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3}).\]
Ответ: \((\sqrt[3]{a^3} — \sqrt[3]{b^3})(\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3})\).
3)
\[
x^2 — 3 = x^{\frac{4}{2}} — 3^{\frac{2}{2}} = \left(x^{\frac{4}{4}} — 3^{\frac{2}{4}}\right)\left(x^{\frac{4}{4}} + 3^{\frac{2}{4}}\right) = (\sqrt[4]{x} — \sqrt{3})(\sqrt[4]{x} + \sqrt{3}).
\]
Ответ: \((\sqrt[4]{x} — \sqrt{3})(\sqrt[4]{x} + \sqrt{3})\).
4)
\[x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{6}{18}} — y^{\frac{14}{18}}=\]
\[= \left(x^{\frac{6}{18}} — y^{\frac{14}{18}}\right)\left(x^{\frac{6}{18}} + y^{\frac{14}{18}}\right) = (\sqrt[6]{x} — \sqrt[14]{y})(\sqrt[6]{x} + \sqrt[14]{y}).\]
Ответ: \((\sqrt[6]{x} — \sqrt[14]{y})(\sqrt[6]{x} + \sqrt[14]{y})\).
Давайте разберём каждое из выражений более подробно, чтобы лучше понять, как они преобразуются в разность квадратов и раскладываются на множители.
1. Выражение \(a — b\)
Исходное выражение:
\[ a — b = a^{\frac{2}{2}} — b^{\frac{2}{2}} \]
Это выражение можно рассматривать как разность квадратов, где каждый член возводится в степень \(\frac{1}{2}\), что эквивалентно извлечению квадратного корня:
\[
a^{\frac{2}{2}} — b^{\frac{2}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}\right)
\]
Таким образом, мы получаем:
\[
(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})
\]
Это классическая формула разности квадратов: \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\).
2. Выражение \(a^3 — b^3\)
Исходное выражение:
\[ a^3 — b^3 = a^{\frac{3 \cdot 2}{2}} — b^{\frac{3 \cdot 2}{2}} \]
Здесь мы используем аналогичное преобразование, но с кубическими корнями:
\[
a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}}\right)\left(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}}\right)
\]
Получаем:
\[
(\sqrt[3]{a^3} — \sqrt[3]{b^3})(\sqrt[3]{a^3} + \sqrt[3]{b^3})
\]
Это выражение также основано на разности кубов, но представлено через квадратные корни.
3. Выражение \(x^2 — 3\)
Исходное выражение:
\[ x^2 — 3 = x^{\frac{4}{2}} — 3^{\frac{2}{2}} \]
Здесь мы видим, что \(x^2\) и \(3\) можно представить как степени с одинаковыми основаниями:
\[
x^{\frac{4}{4}} — 3^{\frac{2}{4}} = \left(x^{\frac{4}{4}} — 3^{\frac{2}{4}}\right)\left(x^{\frac{4}{4}} + 3^{\frac{2}{4}}\right)
\]
Что даёт нам:
\[
(\sqrt[4]{x} — \sqrt{3})(\sqrt[4]{x} + \sqrt{3})
\]
Это выражение также использует концепцию разности квадратов, но через четвёртые корни.
4. Выражение \(x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{7}}\)
Исходное выражение:
\[ x^{\frac{1}{3}} — y^{\frac{1}{7}} = x^{\frac{6}{18}} — y^{\frac{14}{18}} \]
Мы приводим выражение к общему знаменателю для упрощения:
\[
x^{\frac{6}{18}} — y^{\frac{14}{18}} = \left(x^{\frac{6}{18}} — y^{\frac{14}{18}}\right)\left(x^{\frac{6}{18}} + y^{\frac{14}{18}}\right)
\]
Результат:
\[
(\sqrt[6]{x} — \sqrt[14]{y})(\sqrt[6]{x} + \sqrt[14]{y})
\]
Алгебра
