ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Замените степень с дробным показателем корнем:

1) \( 3^{-\frac{1}{9}}; \)

2) \( c^{0,2}; \)

3) \( x^{\frac{6}{7}}; \)

4) \( (a — 2b)^{\frac{9}{16}}. \)

Заменить степень с дробным показателем корнем:

1. \[
   3^{-\frac{1}{9}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{\frac{1}{3^1}} = \frac{1}{\sqrt[9]{3}};
   \]Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[9]{3}}\).
2. \[
   c^{0,2} = c^{\frac{2}{10}} = c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c^1} = \sqrt[5]{c};
   \]Ответ: \(\sqrt[5]{c}\).
3. \[
   x^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{x^6};
   \]Ответ: \(\sqrt[7]{x^6}\).
4. \[
   (a — 2b)^{\frac{9}{16}} = \sqrt[16]{(a — 2b)^9};
   \]Ответ: \(\sqrt[16]{(a — 2b)^9}\).

Пример 1: \(3^{-\frac{1}{9}}\)

Степень с отрицательным и дробным показателем можно представить в виде произведения двух операций: возведения в степень с положительным дробным показателем и взятия обратного числа.

Запишем это пошагово:

\[
3^{-\frac{1}{9}} = \left(3^{-1}\right)^{\frac{1}{9}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{9}} = \sqrt[9]{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[9]{3}}
\]

Таким образом, мы сначала берём обратное число \( \frac{1}{3} \), а затем извлекаем из него девятый корень.

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt[9]{3}}\).

Пример 2: \(c^{0,2}\)

Дробный показатель степени \(0,2\) можно представить в виде обыкновенной дроби:

\[
0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}
\]

Следовательно,

\[
c^{0,2} = c^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{c}
\]

Это означает, что возведение числа \(c\) в степень \(0,2\) эквивалентно извлечению пятого корня из \(c\).

Ответ: \(\sqrt[5]{c}\).

Пример 3: \(x^{\frac{6}{7}}\)

Здесь числитель дроби — 6, знаменатель — 7, значит, степень с дробным показателем можно записать в виде корня с последующим возведением в степень или наоборот:

\[
x^{\frac{6}{7}} = \sqrt[7]{x^6}
\]

Это значит, что сначала возводим число \(x\) в шестую степень, а затем извлекаем седьмой корень из результата.

Ответ: \(\sqrt[7]{x^6}\).

Пример 4: \((a — 2b)^{\frac{9}{16}}\)

В этом случае, аналогично предыдущему примеру, дробный показатель степени \(\frac{9}{16}\) означает, что выражение можно переписать в виде корня:

\[
(a — 2b)^{\frac{9}{16}} = \sqrt[16]{(a — 2b)^9}
\]

То есть, сначала возводим выражение \(a — 2b\) в девятую степень, а затем извлекаем шестнадцатый корень из результата.

Ответ: \(\sqrt[16]{(a — 2b)^9}\).