Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) \( a^5 — b^5 \);
2) \( x^6 — y^6 \);
3) \( 5 — c \);
4) \( 16x^{0.3} — 25y^{\frac{2}{9}} \);
Разложение на множители, используя формулу разности квадратов:
1) \( a^5 — b^5 = a^{\frac{5}{2} \cdot 2} — b^{\frac{5}{2} \cdot 2}=\)
\(= \left(a^{\frac{5}{2}} — b^{\frac{5}{2}}\right)\left(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}}\right)=\)
\(= \left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right) \).
2) \( x^{\frac{1}{6}} — y^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{12} \cdot 2} — y^{\frac{1}{12} \cdot 2}=\)
\( = \left(x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}}\right)\left(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}}\right)=\)
\( = \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right) \).
3) \( 5 — c = 5^{\frac{2}{2}} — c^{\frac{2}{2}} = \left(5^{\frac{1}{2}} — c^{\frac{1}{2}}\right)\left(5^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}\right) = \left(\sqrt{5} — \sqrt{c}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{c}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt{5} — \sqrt{c}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{c}\right) \).
4) \( 16 x^{0.3} — 25 y^{\frac{2}{9}} = 16 x^{\frac{3}{10}} — 25 y^{\frac{2}{9}}=\)
\(= 4^2 \cdot x^{\frac{3}{20} \cdot 2} — 5^2 \cdot y^{\frac{2}{9}}=\)
\(= \left(4 x^{\frac{3}{20}} — 5 y^{\frac{1}{9}}\right)\left(4 x^{\frac{3}{20}} + 5 y^{\frac{1}{9}}\right)=\)
\(= \left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt[9]{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt[9]{y}\right); \)
Ответ: \( \left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt[9]{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt[9]{y}\right) \).
Разложение на множители, используя формулу разности квадратов:
1) \( a^5 — b^5 = a^{\frac{5}{2} \cdot 2} — b^{\frac{5}{2} \cdot 2} = \)
Здесь мы применяем разложение разности кубов в виде произведения двух множителей. Преобразуем выражение, выделив степень и приведя к разности квадратов:
\( = \left(a^{\frac{5}{2}} — b^{\frac{5}{2}}\right)\left(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}}\right) = \)
Это разложение выражается через разность и сумму квадратов:
\( = \left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5}\right)\left(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5}\right) \).
2) \( x^{\frac{1}{6}} — y^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{12} \cdot 2} — y^{\frac{1}{12} \cdot 2} = \)
В данном случае мы работаем с выражением, которое в первой степени приводится к разности квадратов, при этом сначала умножаем степени, чтобы привести их к нужной форме:
\( = \left(x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}}\right)\left(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}}\right) = \)
Здесь применяем стандартную формулу разности квадратов для корней:
\( = \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right) \).
3) \( 5 — c = 5^{\frac{2}{2}} — c^{\frac{2}{2}} = \left(5^{\frac{1}{2}} — c^{\frac{1}{2}}\right)\left(5^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}}\right) = \)
Это более простой пример разности квадратов, где мы можем сразу представить обе части как квадратные корни:
\( = \left(\sqrt{5} — \sqrt{c}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{c}\right); \)
Ответ: \( \left(\sqrt{5} — \sqrt{c}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{c}\right) \).
4) \( 16 x^{0.3} — 25 y^{\frac{2}{9}} = 16 x^{\frac{3}{10}} — 25 y^{\frac{2}{9}} = \)
Здесь мы снова применяем разность квадратов, но для степеней с дробными показателями. Сначала преобразуем выражение в удобную форму, выделяя степени, чтобы они стали целыми:
\( = 4^2 \cdot x^{\frac{3}{20} \cdot 2} — 5^2 \cdot y^{\frac{2}{9}} = \)
Далее применяем стандартное разложение разности квадратов для двух выражений:
\( = \left(4 x^{\frac{3}{20}} — 5 y^{\frac{1}{9}}\right)\left(4 x^{\frac{3}{20}} + 5 y^{\frac{1}{9}}\right) = \)
В результате мы получаем финальное разложение:
\( = \left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt[9]{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt[9]{y}\right); \)
Ответ: \( \left(4 \sqrt[20]{x^3} — 5 \sqrt[9]{y}\right)\left(4 \sqrt[20]{x^3} + 5 \sqrt[9]{y}\right) \).
