Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.20 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) a5 — b5;
2) x1/6 — y1/6;
3) 5 — c;
4) 16x0.3 — 25y2/9;
Разложить на множители, используя формулу разности квадратов:
1)
\[a^5 — b^5 = a^{\frac{5 \cdot 2}{2}} — b^{\frac{5 \cdot 2}{2}} = \left(a^{\frac{5}{2}} — b^{\frac{5}{2}}\right)\left(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}}\right)=\]
\[= (\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5})(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5})\]
Ответ: \((\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5})(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5})\).
2)
\[x^6 — y^6 = x^{\frac{2}{12}} — y^{\frac{2}{12}} = \left(x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}}\right)\left(x^{\frac{1}{12}}+y^{\frac{1}{12}}\right)=\]
\[= \left(12\sqrt{x} — 12\sqrt{y}\right)\left(12\sqrt{x} + 12\sqrt{y}\right)\]
Ответ: \((12\sqrt{x} — 12\sqrt{y})(12\sqrt{x} + 12\sqrt{y})\).
3)
\[5 — c = 5^2 — c^2 = \left(5^{\frac{2}{2}} — c^{\frac{2}{2}}\right)\left(5^{\frac{2}{2}} + c^{\frac{2}{2}}\right)=\]
\[= (\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})\]
Ответ: \((\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})\).
4)
\(16x^{0.3} — 25y^{2/9} = 16x^{10} — 25y^9 = 4^2 \cdot x^{20/3} — 5^2 \cdot y^{2/9} = \)
\[
= (4x^{20/3} — 5y^{1/9})(4x^{20/3} + 5y^{1/9}) = (4^{20}x^3 — 5\sqrt[5]{y})(4^{20}x^3 + 5\sqrt[5]{y})
\]
Ответ:
\[
(4^{20}\sqrt{y}^3 — 5\sqrt[9]{y})(4^{20}\sqrt{y}^3 + 5\sqrt[9]{y})
\]
1. \(a^5 — b^5\)
Исходное выражение:
\[
a^5 — b^5
\]
Это выражение можно представить как разность квадратов, если ввести степени \(\frac{5}{2}\) для каждого элемента. Тогда:
\[
a^5 — b^5 = a^{\frac{5 \cdot 2}{2}} — b^{\frac{5 \cdot 2}{2}} = \left(a^{\frac{5}{2}} — b^{\frac{5}{2}}\right)\left(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}}\right)
\]
Преобразуя степени в корни, получаем:
\[
a^{\frac{5}{2}} = \sqrt{a^5}, \quad b^{\frac{5}{2}} = \sqrt{b^5}
\]
Итоговое разложение:
\[
a^5 — b^5 = (\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5})(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5})
\]
Ответ:
\[
(\sqrt{a^5} — \sqrt{b^5})(\sqrt{a^5} + \sqrt{b^5})
\]
Здесь мы видим прямое использование формулы разности квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\), только в данном случае \(x = \sqrt{a^5}\), а \(y = \sqrt{b^5}\).
—
2. \(x^6 — y^6\)
Исходное выражение:
\[
x^6 — y^6
\]
Сначала заметим, что \(x^6\) и \(y^6\) можно представить как степени \(\frac{12}{2}\):
\[
x^6 — y^6 = x^{\frac{12}{12}} — y^{\frac{12}{12}}
\]
Теперь используем формулу разности квадратов:
\[
x^6 — y^6 = \left(x^{\frac{1}{12}} — y^{\frac{1}{12}}\right)\left(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}}\right)
\]
Преобразуем степени в корни:
\[
x^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{x}, \quad y^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{y}
\]
Итоговое разложение:
\[
x^6 — y^6 = \left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right)
\]
Ответ:
\[
\left(\sqrt[12]{x} — \sqrt[12]{y}\right)\left(\sqrt[12]{x} + \sqrt[12]{y}\right)
\]
Здесь мы снова применили формулу разности квадратов, где \(x = \sqrt[12]{x}\), а \(y = \sqrt[12]{y}\).
3. \(5 — c\)
Исходное выражение:
\[
5 — c
\]
Заметим, что это выражение также можно представить как разность квадратов, если записать \(5\) и \(c\) в виде квадратов:
\[
5 — c = 5^2 — c^2
\]
Теперь применяем формулу разности квадратов:
\[
5^2 — c^2 = \left(5^{\frac{2}{2}} — c^{\frac{2}{2}}\right)\left(5^{\frac{2}{2}} + c^{\frac{2}{2}}\right)
\]
Преобразуем степени в корни:
\[
5^{\frac{2}{2}} = \sqrt{5}, \quad c^{\frac{2}{2}} = \sqrt{c}
\]
Итоговое разложение:
\[
5 — c = (\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})
\]
Ответ:
\[
(\sqrt{5} — \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})
\]
4. \(16x^{\frac{3}{2}} — 25y^{\frac{9}{2}}\)
Исходное выражение:
\[
16x^{\frac{3}{2}} — 25y^{\frac{9}{2}}
\]
Сначала преобразуем множители, чтобы выделить общую структуру разности квадратов. Заметим, что:
\[
16x^{\frac{3}{2}} = (4x^{\frac{3}{2}})^2, \quad 25y^{\frac{9}{2}} = (5y^{\frac{9}{4}})^2
\]
Теперь применяем формулу разности квадратов:
\[
16x^{\frac{3}{2}} — 25y^{\frac{9}{2}} = \left(4x^{\frac{3}{2}} — 5y^{\frac{9}{4}}\right)\left(4x^{\frac{3}{2}} + 5y^{\frac{9}{4}}\right)
\]
Преобразуем степени в корни:
\[
x^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{x^3}, \quad y^{\frac{9}{4}} = \sqrt[4]{y^9}
\]
Итоговое разложение:
\[
16x^{\frac{3}{2}} — 25y^{\frac{9}{2}} = \left(4\sqrt{x^3} — 5\sqrt[4]{y^9}\right)\left(4\sqrt{x^3} + 5\sqrt[4]{y^9}\right)
\]
Ответ:
\[
(4^{20}\sqrt{y}^3 — 5\sqrt[9]{y})(4^{20}\sqrt{y}^3 + 5\sqrt[9]{y})
\]
Алгебра
