Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.21 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте данное выражение в виде суммы кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):
1) a + b;
2) a1/2 + b1/3;
3) a3/2 + 27;
4) a2/3 + b2/3;
Представить данное выражение в виде суммы кубов и разложить его на множители:
1)
\[
a + b = a^3 + b^3 = \left(a^3 + b^3\right)\left(a^2 — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^2\right) =
\]
\[
= \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\frac{1}{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right);
\]
2)
\[
a^2 + b^3 = a^6 + b^9 = \left(a^6 + b^9\right)\left(a^{\frac{2}{3}} — a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}}\right) =
\]
\[
= \left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[9]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{a}\sqrt[9]{b} + \sqrt[9]{b^2}\right);
\]
3)
\[
a^2 + 27 = a^2 + 3^3 = \left(a^2 + 3\right)\left(a^2 — 3a^{\frac{2}{3}} + 3^2\right) =
\]
\[
= \left(\sqrt{a} + 3\right)\left(a — 3\sqrt{a} + 9\right);
\]
4)
\[
a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}} = \left(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}}\right)\left(a^{\frac{4}{9}} — a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}}\right) =
\]
\[
= \left(\sqrt[9]{a^2} + \sqrt[9]{b^2}\right)\left(\sqrt[9]{a^4} — \sqrt[9]{(ab)^2} + \sqrt[9]{b^4}\right);
\]
Давайте подробно разберём каждый пункт, чтобы сделать объяснение максимально понятным и полным.
1. Разложение \(a + b = a^3 + b^3\):
Используем формулу суммы кубов:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2).
\]
Для упрощения выражения мы представляем \(a\) и \(b\) в виде корней третьей степени:
\[
a = \sqrt[3]{a^3}, \quad b = \sqrt[3]{b^3}.
\]
Подставляем это в формулу:
\[
a^3 + b^3 = \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^2 — \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \left(\sqrt[3]{b}\right)^2\right).
\]
Итоговое разложение:
\[
a^3 + b^3 = \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\frac{1}{a^2} — \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right).
\]
2. Разложение \(a^2 + b^3 = a^6 + b^9\):
Здесь мы представляем выражение как сумму кубов:
\[
a^6 + b^9 = \left(a^6 + b^9\right)\left(a^{\frac{4}{9}} — a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}}\right).
\]
Для упрощения используем корни шестой и девятой степени:
\[
a = \sqrt[6]{a^6}, \quad b = \sqrt[9]{b^9}.
\]
Подставляем это в формулу:
\[
a^6 + b^9 = \left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[9]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{a}\sqrt[9]{b} + \sqrt[9]{b^2}\right).
\]
Итоговое разложение:
\[
a^6 + b^9 = \left(\sqrt[6]{a} + \sqrt[9]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{a}\sqrt[9]{b} + \sqrt[9]{b^2}\right).
\]
3. Разложение \(a^2 + 27 = a^2 + 3^3\):
Используем формулу суммы кубов:
\[
a^2 + 27 = (a + 3)(a^2 — 3a^{\frac{2}{3}} + 9).
\]
Здесь \(27 = 3^3\), а \(a^2\) представляется как куб числа \(a^{\frac{2}{3}}\):
\[
a^2 = \left(a^{\frac{2}{3}}\right)^3.
\]
Подставляем это в формулу:
\[
a^2 + 27 = \left(\sqrt{a} + 3\right)\left(a — 3\sqrt{a} + 9\right).
\]
Итоговое разложение:
\[
a^2 + 27 = \left(\sqrt{a} + 3\right)\left(a — 3\sqrt{a} + 9\right).
\]
4. Разложение \(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\):
Здесь \(a^{\frac{2}{3}}\) и \(b^{\frac{2}{3}}\) представляются как кубы чисел \(a^{\frac{2}{9}}\) и \(b^{\frac{2}{9}}\):
\[
a^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{2}{9}}\right)^3, \quad b^{\frac{2}{3}} = \left(b^{\frac{2}{9}}\right)^3.
\]
Используем формулу суммы кубов:
\[
a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = \left(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}}\right)\left(a^{\frac{4}{9}} — a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}}\right).
\]
Представим это с использованием корней девятой степени:
\[
a^{\frac{2}{9}} = \sqrt[9]{a^2}, \quad b^{\frac{2}{9}} = \sqrt[9]{b^2}.
\]
Итоговое разложение:
\[
a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[9]{a^2} + \sqrt[9]{b^2}\right)\left(\sqrt[9]{a^4} — \sqrt[9]{(ab)^2} + \sqrt[9]{b^4}\right).
\]
Алгебра
