ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.22 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \[a — b = a^3 — b^3\]

2) \[a^{1.5} — b^{1.5}\]

3) \[m^{0.6} — 8n^{1.8}\]

4) \[x^{\frac{6}{7}} — 6\]

Разложить на множители, используя формулу разности кубов:

1) \[a — b = a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\]

\[= (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})\]

2) \[a^{1.5} — b^{1.5} = a^{3/2} — b^{3/2} = (a^{1/2} — b^{1/2})(a^{1} + a^{1/2}b^{1/2} + b^{1})\]

\[= (\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b)\]

3) \[m^{0.6} — 8n^{1.8} = m^5 — 2^3 \cdot n^5 = (m^5 — 2n^5)(m^5 + 2m^5n^5 + 2^2 \cdot n^5)\]

\[= (\sqrt[5]{m} — 2\sqrt[5]{n^3})(\sqrt[5]{m^2} + 2\sqrt[5]{mn^3} + 4\sqrt[5]{n^6})\]

4) \[x^{\frac{6}{7}} — 6 = x^{\frac{2 \cdot 3}{7}} — 6^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{2}{7}} — 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} +
6^{\frac{2}{3}})\]

\[= (\sqrt[7]{x^2} — \sqrt[3]{6})(\sqrt[7]{x^4} + \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[7]{x^2} + \sqrt[3]{6^2})\]

1. \(a — b = a^3 — b^3\)

Для начала, применим основную формулу разности кубов:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Однако в задаче задано выражение в виде кубических корней:
\[
a — b = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}.
\]

Раскладываем его с учетом формулы разности кубов:
\[
a^3 — b^3 = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).
\]

Итоговое разложение:
\[
a — b = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).
\]

2. \(a^{1.5} — b^{1.5}\)

Здесь мы видим, что степени выражены в десятичной форме. Преобразуем их в дроби:
\[
a^{1.5} = a^{\frac{3}{2}}, \quad b^{1.5} = b^{\frac{3}{2}}.
\]

Теперь применим формулу разности кубов:
\[
a^{\frac{3}{2}} — b^{\frac{3}{2}} = \left(a^{\frac{1}{2}} — b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b\right).
\]

Заменим дробные степени на квадратные корни:
\[
a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \quad b^{\frac{1}{2}} = \sqrt{b}.
\]

Итоговое разложение:
\[
a^{1.5} — b^{1.5} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})(a + \sqrt{ab} + b).
\]

3. \(m^{0.6} — 8n^{1.8}\)

Перепишем степени в виде дробей:
\[
m^{0.6} = m^{\frac{3}{5}}, \quad n^{1.8} = n^{\frac{9}{5}}.
\]

Обратим внимание на коэффициент \(8\), который можно представить как \(2^3\). Тогда выражение становится:
\[
m^{\frac{3}{5}} — (2n)^{\frac{3}{5}}.
\]

Применяем формулу разности кубов:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Здесь \(a = m^{\frac{1}{5}}\), \(b = 2n^{\frac{1}{5}}\). Подставляем:
\[
m^{\frac{3}{5}} — (2n)^{\frac{3}{5}} = \left(m^{\frac{1}{5}} — 2n^{\frac{1}{5}}\right)\left(m^{\frac{2}{5}} + m^{\frac{1}{5}} \cdot 2n^{\frac{1}{5}} + (2n)^{\frac{2}{5}}\right).
\]

Упростим дробные степени:
\[
m^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{m}, \quad n^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{n}, \quad (2n)^{\frac{1}{5}} = 2\sqrt[5]{n}.
\]

Итоговое разложение:
\[
m^{0.6} — 8n^{1.8} = (\sqrt[5]{m} — 2\sqrt[5]{n^3})(\sqrt[5]{m^2} + 2\sqrt[5]{mn^3} + \sqrt[5]{4n^6}).
\]

4. \[x^{\frac{6}{7}} — 6\]

Решение:

Представление выражения в виде разности кубов.
Мы знаем, что формула разности кубов выглядит так:
\[
a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2).
\]

Здесь:
— \(a = x^{\frac{2}{7}}\),
— \(b = 6^{\frac{1}{3}}\).

Таким образом, исходное выражение можно переписать следующим образом:
\[
x^{\frac{6}{7}} — 6 = \left(x^{\frac{2}{7}}\right)^3 — \left(6^{\frac{1}{3}}\right)^3.
\]

Применение формулы разности кубов.
Подставляем в формулу:
\[
x^{\frac{6}{7}} — 6 = (x^{\frac{2}{7}} — 6^{\frac{1}{3}})\left((x^{\frac{2}{7}})^2 + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + (6^{\frac{1}{3}})^2\right).
\]

Упрощение выражений.
1. Для первого множителя:
\[
x^{\frac{2}{7}} — 6^{\frac{1}{3}}.
\]

2. Для второго множителя:
\[
(x^{\frac{2}{7}})^2 = x^{\frac{4}{7}}, \quad x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}, \quad (6^{\frac{1}{3}})^2 = 6^{\frac{2}{3}}.
\]

Подставляем всё вместе:
\[
x^{\frac{6}{7}} — 6 = (x^{\frac{2}{7}} — 6^{\frac{1}{3}})\left(x^{\frac{4}{7}} + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + 6^{\frac{2}{3}}\right).
\]

Переписывание с использованием корней.
Для наглядности представим выражение через корни:
— \(x^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{x^2}\),
— \(6^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{6}\),
— \(x^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{x^4}\),
— \(6^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{6^2} = \sqrt[3]{36}\).

Теперь выражение выглядит так:
\[
x^{\frac{6}{7}} — 6 = (\sqrt[7]{x^2} — \sqrt[3]{6})(\sqrt[7]{x^4} + \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[7]{x^2} + \sqrt[3]{36}).
\]

Итоговое разложение:
\[
x^{\frac{6}{7}} — 6 = (\sqrt[7]{x^2} — \sqrt[3]{6})(\sqrt[7]{x^4} + \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[7]{x^2} + \sqrt[3]{36}).
\]