ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.29 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:
1) \(\sqrt{3x} — 2 = 0\)
2) \(\sqrt{3x — 7} = 0\)
3) \(\sqrt{4x — 1} = 6\)
4) \(\frac{56}{\sqrt{x}} = 8\)
5) \(\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11\)
6) \(\sqrt{x^2 — 64} = 6\)
7) \(\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4\)
8) \(\sqrt{x} + \sqrt{x — 2} = 0\)
9) \((x — 2)\sqrt{x + 2} = 0\)

1. Уравнение:

\[
\sqrt{3x} — 2 = 0
\]

Решение:
\[
\sqrt{3x} = 2
\]

\[
3x = 4
\]

\[
x = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}
\]

Ответ:
\[
1 \frac{1}{3}
\]

2. Уравнение:

\[
\sqrt{3x — 7} = 0
\]

Решение:
\[
3x — 7 = 0
\]

\[
3x = 7
\]

\[
x = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}
\]

Ответ:
\[
2 \frac{1}{3}
\]

3. Уравнение:

\[
\sqrt{4x — 1} = 6
\]

Решение:
\[
4x — 1 = 36
\]

\[
4x = 37
\]

\[
x = \frac{37}{4} = 9,25
\]

Ответ:
\[
9,25
\]

4. Уравнение:

\[
\frac{56}{\sqrt{x}} = 8
\]

Решение:
\[
56 = 8\sqrt{x}
\]

\[
\sqrt{x} = 7
\]

\[
x = 7^2 = 49
\]

Ответ:
\[
49
\]

5. Уравнение:

\[
\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11
\]

Решение:
\[
22 = 11\sqrt{x + 3}
\]

\[
\sqrt{x + 3} = 2
\]

\[
x + 3 = 4
\]

\[
x = 4 — 3 = 1
\]

Ответ:
\[
1
\]

6. Уравнение:

\[
\sqrt{x^2 — 64} = 6
\]

Решение:
\[
x^2 — 64 = 36
\]

\[
x^2 = 100
\]

\[
x = \pm\sqrt{100} = \pm10
\]

Ответ:
\[
\pm10
\]

7. Уравнение:

\[
\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4
\]

Решение:
\[
1 + \sqrt{3 + x} = 16
\]

\[
\sqrt{3 + x} = 15
\]

\[
3 + x = 225
\]

\[
x = 225 — 3 = 222
\]

Ответ:
\[
222
\]

8. Уравнение:

\[
\sqrt{x} + \sqrt{x — 2} = 0
\]

Решение:
\[
\sqrt{x} \geq 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x — 2} \geq 0
\]

Рассмотрим оба уравнения:
1. \(x = 0\)

2. \(x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)

Но при подстановке в исходное уравнение корней нет.
Ответ:
\[
\text{корней нет.}
\]

9. Уравнение:
\[
(x — 2)\sqrt{x + 2} = 0
\]

Решение:
Рассмотрим два случая:
1. \(x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
2. Выражение имеет смысл при:
\[
x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2
\]

Тогда \(x = \pm2\).

Ответ:
\[
\pm2
\]

1. Уравнение:
\[
\sqrt{3x} — 2 = 0
\]

Решение:
1. Переносим \( -2 \) в правую часть:
\[
\sqrt{3x} = 2.
\]

2. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[
(\sqrt{3x})^2 = 2^2.
\]

\[
3x = 4.
\]

3. Делим обе части уравнения на 3:
\[
x = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}.
\]

4. Проверяем корень:
Подставляем \(x = \frac{4}{3}\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt{3 \cdot \frac{4}{3}} — 2 = \sqrt{4} — 2 = 2 — 2 = 0.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 1 \frac{1}{3}.
\]

2. Уравнение:
\[
\sqrt{3x — 7} = 0
\]

Решение:
1. Корень равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю:
\[
3x — 7 = 0.
\]

2. Решаем линейное уравнение:
\[
3x = 7.
\]

\[
x = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}.
\]

3. Проверяем корень:
Подставляем \(x = \frac{7}{3}\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt{3 \cdot \frac{7}{3} — 7} = \sqrt{7 — 7} = \sqrt{0} = 0.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 2 \frac{1}{3}.
\]

3. Уравнение:
\[
\sqrt{4x — 1} = 6
\]

Решение:
1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{4x — 1})^2 = 6^2.
\]

\[
4x — 1 = 36.
\]

2. Решаем линейное уравнение:
\[
4x = 36 + 1 = 37.
\]

\[
x = \frac{37}{4} = 9,25.
\]

3. Проверяем корень:
Подставляем \(x = 9,25\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt{4 \cdot 9,25 — 1} = \sqrt{37 — 1} = \sqrt{36} = 6.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 9,25.
\]

4. Уравнение:
\[
\frac{56}{\sqrt{x}} = 8
\]

Решение:
1. Умножаем обе части уравнения на \(\sqrt{x}\):
\[
56 = 8\sqrt{x}.
\]

2. Делим обе части уравнения на 8:
\[
\sqrt{x} = \frac{56}{8} = 7.
\]

3. Возводим обе части в квадрат:
\[
(\sqrt{x})^2 = 7^2.
\]

\[
x = 49.
\]

4. Проверяем корень:
Подставляем \(x = 49\) в исходное уравнение:
\[
\frac{56}{\sqrt{49}} = \frac{56}{7} = 8.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 49.
\]

5. Уравнение:
\[
\frac{22}{\sqrt{x + 3}} = 11
\]

Решение:
1. Умножаем обе части уравнения на \(\sqrt{x + 3}\):
\[
22 = 11\sqrt{x + 3}.
\]

2. Делим обе части уравнения на 11:
\[
\sqrt{x + 3} = \frac{22}{11} = 2.
\]

3. Возводим обе части в квадрат:
\[
(\sqrt{x + 3})^2 = 2^2.
\]

\[
x + 3 = 4.
\]

4. Выражаем \(x\):
\[
x = 4 — 3 = 1.
\]

5. Проверяем корень:
Подставляем \(x = 1\) в исходное уравнение:
\[
\frac{22}{\sqrt{1 + 3}} = \frac{22}{\sqrt{4}} = \frac{22}{2} = 11.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 1.
\]

6. Уравнение:
\[
\sqrt{x^2 — 64} = 6
\]

Решение:
1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{x^2 — 64})^2 = 6^2.
\]

\[
x^2 — 64 = 36.
\]

2. Решаем уравнение:
\[
x^2 = 36 + 64 = 100.
\]

3. Находим \(x\):
\[
x = \pm\sqrt{100} = \pm10.
\]

4. Проверяем оба корня:
— Для \(x = 10\):
\[
\sqrt{10^2 — 64} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6.
\]

— Для \(x = -10\):
\[
\sqrt{(-10)^2 — 64} = \sqrt{100 — 64} = \sqrt{36} = 6.
\]

Оба корня подходят.

Ответ:
\[
x = \pm10.
\]

7. Уравнение:
\[
\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}} = 4
\]

Решение:
1. Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{1 + \sqrt{3 + x}})^2 = 4^2.
\]

\[
1 + \sqrt{3 + x} = 16.
\]

2. Выражаем \(\sqrt{3 + x}\):
\[
\sqrt{3 + x} = 16 — 1 = 15.
\]

3. Возводим обе части в квадрат:
\[
(\sqrt{3 + x})^2 = 15^2.
\]

\[
3 + x = 225.
\]

4. Выражаем \(x\):
\[
x = 225 — 3 = 222.
\]

5. Проверяем корень:
Подставляем \(x = 222\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt{1 + \sqrt{3 + 222}} = \sqrt{1 + \sqrt{225}} = \sqrt{1 + 15} = \sqrt{16} = 4.
\]

Всё верно.

Ответ:
\[
x = 222.
\]

8. Уравнение:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{x — 2} = 0
\]

Решение:
1. Заметим, что сумма двух корней равна 0. Это возможно только в случае, если оба корня равны 0:
\[
\sqrt{x} = 0 \quad \text{и} \quad \sqrt{x — 2} = 0.
\]

2. Решаем первое уравнение:
\[
\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0.
\]

3. Решаем второе уравнение:
\[
\sqrt{x — 2} = 0 \Rightarrow x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2.
\]

4. Проверяем оба корня:
— Для \(x = 0\):
\[
\sqrt{0} + \sqrt{0 — 2} \quad \text{не определено}.
\]

— Для \(x = 2\):
\[
\sqrt{2} + \sqrt{2 — 2} \neq 0.
\]

Оба корня не подходят.

Ответ:
\[
\text{Корней нет.}
\]

9. Уравнение:
\[
(x — 2)\sqrt{x + 2} = 0
\]

Решение:
1. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
\[
x — 2 = 0 \quad \text{или} \quad \sqrt{x + 2} = 0.
\]

2. Решаем первое уравнение:
\[
x — 2 = 0 \Rightarrow x = 2.
\]

3. Решаем второе уравнение:
\[
\sqrt{x + 2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2.
\]

4. Проверяем оба корня:
— Для \(x = 2\):
\[
(2 — 2)\sqrt{2 + 2} = 0 \cdot \sqrt{4} = 0.
\]

— Для \(x = -2\):
\[
(-2 — 2)\sqrt{-2 + 2} \quad \text{не определено}.
\]

Только \(x = 2\) подходит.

Ответ:
\[
\pm2
\]