ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Замените корень степенью с дробным показателем:

1) \( \sqrt[7]{a^3}; \)

2) \( \sqrt[14]{m^{-9}}; \)

3) \( \sqrt[6]{5a^5}; \)

4) \( \sqrt[4]{x + y}. \)

Заменить корень степенью с дробным показателем:

1. \[
   \sqrt[7]{a^3} = a^{\frac{3}{7}};
   \]Ответ: \(a^{\frac{3}{7}}\).
2. \[
   \sqrt[14]{m^{-9}} = m^{-\frac{9}{14}};
   \]Ответ: \(m^{-\frac{9}{14}}\).
3. \[
   \sqrt[6]{5a^5} = \sqrt[6]{5^1} \cdot \sqrt[6]{a^5} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{5}{6}};
   \]Ответ: \(5^{\frac{1}{6}} a^{\frac{5}{6}}\).
4. \[
   \sqrt[4]{x + y} = \sqrt[4]{(x + y)^1} = (x + y)^{\frac{1}{4}} = (x + y)^{0,25};
   \]Ответ: \((x + y)^{0,25}\).

Пример 1:

\[
\sqrt[7]{a^3} = a^{\frac{3}{7}}.
\]

Здесь у нас корень седьмой степени из \(a^3\). Согласно правилу, корень степени \(n\) из числа, возведённого в степень \(m\), равен этому числу, возведённому в степень \(\frac{m}{n}\). Таким образом, корень седьмой степени из \(a^3\) можно представить как \(a^{\frac{3}{7}}\). Это преобразование упрощает дальнейшие вычисления и позволяет применять свойства степеней.

Ответ: \(a^{\frac{3}{7}}\).

Пример 2:

\[
\sqrt[14]{m^{-9}} = m^{-\frac{9}{14}}.
\]

В этом примере подкоренное выражение содержит отрицательную степень. Корень четырнадцатой степени из \(m^{-9}\) равен \(m\), возведённому в степень \(-\frac{9}{14}\). Отрицательный показатель степени означает обратное значение, то есть можно также записать как \(\frac{1}{m^{\frac{9}{14}}}\). Такое представление облегчает работу с выражением, особенно при умножении или делении степеней.

Ответ: \(m^{-\frac{9}{14}}\).

Пример 3:

\[
\sqrt[6]{5a^5} = \sqrt[6]{5^1} \cdot \sqrt[6]{a^5} = 5^{\frac{1}{6}} \cdot a^{\frac{5}{6}}.
\]

Здесь мы видим произведение под корнем шестой степени. По свойствам корней корень из произведения равен произведению корней. Разделив выражение на два корня, мы получаем \(5^{\frac{1}{6}}\) и \(a^{\frac{5}{6}}\). Такое разложение упрощает вычисления и позволяет отдельно работать с каждым множителем.

Ответ: \(5^{\frac{1}{6}} a^{\frac{5}{6}}\).

Пример 4:

\[
\sqrt[4]{x + y} = \sqrt[4]{(x + y)^1} = (x + y)^{\frac{1}{4}} = (x + y)^{0,25}.
\]

В этом примере корень четвёртой степени из суммы \(x + y\) можно представить как возведение этой суммы в степень \(\frac{1}{4}\), что равно десятичному показателю степени \(0,25\). Это облегчает вычисления, особенно при работе с производными, интегралами и другими операциями в математическом анализе.

Ответ: \((x + y)^{0,25}\).