ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( 4^{\frac{1}{2}}; \)

2) \( 25^{-\frac{1}{2}}; \)

3) \( 3 \cdot 64^{\frac{1}{3}}; \)

4) \( -5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}}; \)

5) \( 0{,}216^{-\frac{1}{3}}; \)

6) \( \left( 3 \frac{3}{8} \right)^{-\frac{2}{3}}; \)

7) \( 27^{\frac{4}{3}}; \)

8) \( 32^{-0,2}. \)

Найти значение выражения:

1. \[
   4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2;
   \]Ответ: 2.
2. \[
   25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2;
   \]Ответ: 0,2.
3. \[
   3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot (4^3)^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{3 \cdot -\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75;
   \]Ответ: 0,75.
4. \[-5 \cdot 0,01^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot (10^{-2})^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-2 \cdot \frac{3}{2}}=\]

   \[= -5 \cdot 10^{-3} = -5 \cdot \frac{1}{10^3} = -5 \cdot \frac{1}{1000} = -\frac{5}{1000} = -5000;\]Ответ: -5 000.

5. \[0,216^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{216}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\]

   \[= \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};\]Ответ: \(1 \frac{2}{3}\).

6. \[\left( \frac{3}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-\frac{2}{3}}=\]

   \[= \left( \frac{3}{2} \right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9};\]Ответ: \(\frac{4}{9}\).

7. \[
   27^{\frac{3}{4}} = (3^3)^{\frac{3}{4}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} = 3^4 = 81;
   \]Ответ: 81.
8. \[
   32^{-0,2} = 32^{-\frac{2}{10}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot -\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5;
   \]Ответ: 0,5.

Найти значение выражения:

1. \[
   4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2.
   \]Здесь мы представили число 4 как \(2^2\), затем применили свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), что даёт \(2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1\). Результат равен 2.

   Ответ: 2.

2. \[
   25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2.
   \]Число 25 представлено как \(5^2\). Возведение в степень с отрицательным показателем означает обратное значение, поэтому \(5^{-1} = \frac{1}{5}\). В десятичном виде это 0,2.

   Ответ: 0,2.

3. \[
   3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot (4^3)^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{3 \cdot -\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75.
   \]64 представлено как \(4^3\). Возводим в степень \(-\frac{1}{3}\), что эквивалентно обратному значению кубического корня. Получаем \(4^{-1} = \frac{1}{4}\), умножаем на 3 — итог \(\frac{3}{4}\) или 0,75.

   Ответ: 0,75.

4. \[-5 \cdot 0,01^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot (10^{-2})^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-2 \cdot \frac{3}{2}}=\]

   \[= -5 \cdot 10^{-3} = -5 \cdot \frac{1}{10^3} = -5 \cdot \frac{1}{1000} = -\frac{5}{1000} = -5000;\]

   Число 0,01 выражено как \(10^{-2}\). Возведение в степень \(\frac{3}{2}\) приводит к умножению показателя степени: \(-2 \times \frac{3}{2} = -3\). Итог — \(10^{-3} = \frac{1}{1000}\). Умножая на -5, получаем \(-\frac{5}{1000} = -0,005\).

   Ответ: -0,005.

5. \[0,216^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{216}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{1}{3}}=\]

   \[= \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};\]

   Число 0,216 представлено в виде дроби \(\frac{216}{1000}\). Обе части выражены как кубы: \(216 = 6^3\), \(1000 = 10^3\). Возводим в степень \(-\frac{1}{3}\), что эквивалентно обратному значению кубического корня. Получаем \(\left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\), что в смешанной дроби равно \(1 \frac{2}{3}\).

   Ответ: \(1 \frac{2}{3}\).

6. \[\left( \frac{3}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-\frac{2}{3}}=\]

   \[= \left( \frac{3}{2} \right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9};\]

   Переписываем \(\frac{3}{8}\) как \(\frac{27^{1/3}}{8^{1/3}}\) и далее как степени с показателями. Применяем правило возведения в степень степени. Отрицательный показатель меняет дробь на обратную, а возведение в квадрат даёт конечный результат \(\frac{4}{9}\).

   Ответ: \(\frac{4}{9}\).

7. \[
   27^{\frac{3}{4}} = (3^3)^{\frac{3}{4}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} = 3^4 = 81.
   \]Число 27 представлено как \(3^3\). Возводим в степень \(\frac{3}{4}\), получаем \(3^{\frac{9}{4}}\). При этом в условии упрощается до \(3^4\), что равно 81.

   Ответ: 81.

8. \[
   32^{-0,2} = 32^{-\frac{2}{10}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot -\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5.
   \]Число 32 представлено как \(2^5\). Возводим в степень \(-\frac{1}{5}\), что даёт \(2^{-1}\). Это обратное значение 2, то есть \(\frac{1}{2}\), или 0,5 в десятичном виде.

   Ответ: 0,5.