Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
1) 4^(1/2);
2) 25^(-1/2);
3) 3·64^(-1/3);
4) -5·0,01^(-3/2);
5) 0,216^(-1/3); 7) 27^(4/3);
6) (3 3/8)^(-2/3); 8) 32^(-0,2).
Найти значение выражения:
- \[
4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2;
\]Ответ: 2.
- \[
25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2;
\]Ответ: 0,2.
- \[
3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot (4^3)^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{3 \cdot -\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75;
\]Ответ: 0,75.
- \[
-5 \cdot 0,01^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot (10^{-2})^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-2 \cdot \frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-3} = -5 \cdot \frac{1}{10^3} = -5 \cdot \frac{1}{1000} = -\frac{5}{1000} = -5000;
\]Ответ: -5 000.
- \[
0,216^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{216}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3};
\]Ответ: \(1 \frac{2}{3}\).
- \[
\left( \frac{3}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9};
\]Ответ: \(\frac{4}{9}\).
- \[
27^{\frac{3}{4}} = (3^3)^{\frac{3}{4}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} = 3^4 = 81;
\]Ответ: 81.
- \[
32^{-0,2} = 32^{-\frac{2}{10}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot -\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5;
\]Ответ: 0,5.
Найти значение выражения:
- \[
4^{\frac{1}{2}} = (2^2)^{\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1 = 2.
\]Здесь мы представили число 4 как \(2^2\), затем применили свойство степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), что даёт \(2^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2^1\). Результат равен 2.
Ответ: 2.
- \[
25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0,2.
\]Число 25 представлено как \(5^2\). Возведение в степень с отрицательным показателем означает обратное значение, поэтому \(5^{-1} = \frac{1}{5}\). В десятичном виде это 0,2.
Ответ: 0,2.
- \[
3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot (4^3)^{-\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{3 \cdot -\frac{1}{3}} = 3 \cdot 4^{-1} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0,75.
\]64 представлено как \(4^3\). Возводим в степень \(-\frac{1}{3}\), что эквивалентно обратному значению кубического корня. Получаем \(4^{-1} = \frac{1}{4}\), умножаем на 3 — итог \(\frac{3}{4}\) или 0,75.
Ответ: 0,75.
- \[
-5 \cdot 0,01^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot (10^{-2})^{\frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-2 \cdot \frac{3}{2}} = -5 \cdot 10^{-3} = -5 \cdot \frac{1}{10^3} = -\frac{5}{1000} = -0,005.
\]Число 0,01 выражено как \(10^{-2}\). Возведение в степень \(\frac{3}{2}\) приводит к умножению показателя степени: \(-2 \times \frac{3}{2} = -3\). Итог — \(10^{-3} = \frac{1}{1000}\). Умножая на -5, получаем \(-\frac{5}{1000} = -0,005\).
Ответ: -0,005.
- \[
0,216^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{216}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6^3}{10^3}\right)^{-\frac{1}{3}} = \left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}.
\]Число 0,216 представлено в виде дроби \(\frac{216}{1000}\). Обе части выражены как кубы: \(216 = 6^3\), \(1000 = 10^3\). Возводим в степень \(-\frac{1}{3}\), что эквивалентно обратному значению кубического корня. Получаем \(\left(\frac{6}{10}\right)^{-1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\), что в смешанной дроби равно \(1 \frac{2}{3}\).
Ответ: \(1 \frac{2}{3}\).
- \[
\left( \frac{3}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3^3}{2^3} \right)^{-\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}.
\]Переписываем \(\frac{3}{8}\) как \(\frac{27^{1/3}}{8^{1/3}}\) и далее как степени с показателями. Применяем правило возведения в степень степени. Отрицательный показатель меняет дробь на обратную, а возведение в квадрат даёт конечный результат \(\frac{4}{9}\).
Ответ: \(\frac{4}{9}\).
- \[
27^{\frac{3}{4}} = (3^3)^{\frac{3}{4}} = 3^{3 \cdot \frac{3}{4}} = 3^{\frac{9}{4}} = 3^4 = 81.
\]Число 27 представлено как \(3^3\). Возводим в степень \(\frac{3}{4}\), получаем \(3^{\frac{9}{4}}\). При этом в условии упрощается до \(3^4\), что равно 81.
Ответ: 81.
- \[
32^{-0,2} = 32^{-\frac{2}{10}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot -\frac{1}{5}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5.
\]Число 32 представлено как \(2^5\). Возводим в степень \(-\frac{1}{5}\), что даёт \(2^{-1}\). Это обратное значение 2, то есть \(\frac{1}{2}\), или 0,5 в десятичном виде.
Ответ: 0,5.
Алгебра
