ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \( 8^{\frac{1}{3}}; \)

2) \( 10\,000^{\frac{1}{4}}; \)

3) \( \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{3}{2}}; \)

4) \( 0,125^{-\frac{2}{3}}? \)

Чему равно значение выражения:

1. \[
   8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2;
   \]Ответ: 2.
2. \[
   10\,000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}} = 10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10;
   \]Ответ: 10.
3. \[
   \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8;
   \]Ответ: 8.
4. Пропущен в исходном тексте, пропускаем.
5. \[0,125^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{125}{1000}\right)^{-\frac{2}{3}}= \left(\frac{5^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}}=\]

   \[= \left(\frac{5}{10}\right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4;\]Ответ: 4.

Чему равно значение выражения:

1. \[
   8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2.
   \]Здесь число 8 представлено как \(2^3\). Возведение в степень \(\frac{1}{3}\) эквивалентно извлечению кубического корня. По свойству степеней \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\), получаем \(2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1\), что равно 2.

   Ответ: 2.

2. \[
   10\,000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}} = 10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10.
   \]Число 10 000 можно представить как \(10^4\). Возведение в степень \(\frac{1}{4}\) означает извлечение четвёртой степени корня. Применяя правило степеней, получаем \(10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1\), что равно 10.

   Ответ: 10.

3. \[
   \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8.
   \]Выражение \(\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}\) можно переписать как \(4^{\frac{3}{2}}\), используя правило \(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\). Далее, \(4 = 2^2\), поэтому применяем правило степеней: \((2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3\). Итоговое значение равно 8.

   Ответ: 8.

4. В исходном тексте отсутствует пункт 4, поэтому его пропускаем.
5. \[0,125^{-\frac{2}{3}} = \left(\frac{125}{1000}\right)^{-\frac{2}{3}}= \left(\frac{5^3}{10^3}\right)^{-\frac{2}{3}}=\]

   \[= \left(\frac{5}{10}\right)^{3 \cdot -\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4;\]

   Число 0,125 можно представить в виде дроби \(\frac{125}{1000}\), где числитель и знаменатель — кубы чисел 5 и 10 соответственно. Возведение в степень \(-\frac{2}
   {3}\) означает взятие кубического корня и возведение в квадрат с последующим обращением, так как показатель отрицательный. Упрощая, получаем \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4\).

   Ответ: 4.