ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \(y = x^{\frac{5}{6}}; \)

2) \( y = (x — 3)^{2.6}; \)

3) \( y = (x^2 — 6x — 7)^{-\frac{1}{9}}. \)

Найти область определения функции:

1. \[
   y = x^{\frac{5}{6}};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x \geq 0;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = [0; +\infty).
   \]

2. \[
   y = (x — 3)^{2,6};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x — 3 \geq 0;
   \]

   \[
   x \geq 3;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = [3; +\infty).
   \]

3. \[
   y = (x^2 — 6x — 7)^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{(x^2 — 6x — 7)^{\frac{1}{9}}};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x^2 — 6x — 7 > 0;
   \]

   Дискриминант:

   \[
   D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,
   \]

   тогда корни уравнения:

   \[
   x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7;
   \]

   Факторизация:

   \[
   (x + 1)(x — 7) > 0;
   \]

   Решение неравенства:

   \[
   x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = (-\infty; -1) \cup (7; +\infty).
   \]

Найти область определения функции:

1. \[
   y = x^{\frac{5}{6}};
   \]Данная функция представляет собой степень с дробным показателем. Показатель \(\frac{5}{6}\) можно представить как произведение \(\frac{5}{6} = \frac{5}{6}\), где знаменатель 6 указывает на корень шестой степени, а числитель 5 — на степень. При возведении числа в дробную степень с чётным знаменателем (6 — чётное число), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, чтобы результат был действительным числом в области вещественных чисел.

   Поэтому условие существования функции — это неотрицательность основания:

   \[
   x \geq 0.
   \]

   Следовательно, область определения функции:

   \[
   D(y) = [0; +\infty).
   \]

2. \[
   y = (x — 3)^{2,6};
   \]Здесь степень \(2,6\) — положительное дробное число. Поскольку показатель степени положительный и дробный, и основание \((x — 3)\) возводится в степень с чётным знаменателем (если представить 2,6 в виде дроби), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, чтобы функция была определена в действительных числах.

   Условие существования функции:

   \[
   x — 3 \geq 0,
   \]

   откуда:

   \[
   x \geq 3.
   \]

   Таким образом, область определения функции:

   \[
   D(y) = [3; +\infty).
   \]

3. \[
   y = (x^2 — 6x — 7)^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{(x^2 — 6x — 7)^{\frac{1}{9}}};
   \]Функция содержит степень с отрицательным показателем \(-\frac{1}{9}\), что означает взятие обратного значения от степени с положительным показателем \(\frac{1}{9}\). Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, необходимо, чтобы выражение под степенью было строго положительным:

   \[
   x^2 — 6x — 7 > 0.
   \]

   Для решения неравенства найдем корни квадратного уравнения:

   \[
   x^2 — 6x — 7 = 0,
   \]

   где дискриминант:

   \[
   D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.
   \]

   Корни уравнения:

   \[
   x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.
   \]

   Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит выражение положительно вне интервала между корнями:

   \[
   (x + 1)(x — 7) > 0,
   \]

   что эквивалентно:

   \[
   x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7.
   \]

   Таким образом, область определения функции:

   \[
   D(y) = (-\infty; -1) \cup (7; +\infty).
   \]