Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область определения функции:
1) y=x^(5/6);
2) y=(x-3)^2,6;
3) y=(x^2-6x-7)^(-1/9).
Найти область определения функции:
- \[
y = x^{\frac{5}{6}};
\]Выражение имеет смысл при:
\[
x \geq 0;
\]Ответ: \[
D(y) = [0; +\infty).
\] - \[
y = (x — 3)^{2,6};
\]Выражение имеет смысл при:
\[
x — 3 \geq 0;
\]\[
x \geq 3;
\]Ответ: \[
D(y) = [3; +\infty).
\] - \[
y = (x^2 — 6x — 7)^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{(x^2 — 6x — 7)^{\frac{1}{9}}};
\]Выражение имеет смысл при:
\[
x^2 — 6x — 7 > 0;
\]Дискриминант:
\[
D = 6^2 + 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 + 28 = 64,
\]тогда корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7;
\]Факторизация:
\[
(x + 1)(x — 7) > 0;
\]Решение неравенства:
\[
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7;
\]Ответ: \[
D(y) = (-\infty; -1) \cup (7; +\infty).
\]
Найти область определения функции:
- \[
y = x^{\frac{5}{6}};
\]Данная функция представляет собой степень с дробным показателем. Показатель \(\frac{5}{6}\) можно представить как произведение \(\frac{5}{6} = \frac{5}{6}\), где знаменатель 6 указывает на корень шестой степени, а числитель 5 — на степень. При возведении числа в дробную степень с чётным знаменателем (6 — чётное число), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, чтобы результат был действительным числом в области вещественных чисел.
Поэтому условие существования функции — это неотрицательность основания:
\[
x \geq 0.
\]Следовательно, область определения функции:
\[
D(y) = [0; +\infty).
\] - \[
y = (x — 3)^{2,6};
\]Здесь степень \(2,6\) — положительное дробное число. Поскольку показатель степени положительный и дробный, и основание \((x — 3)\) возводится в степень с чётным знаменателем (если представить 2,6 в виде дроби), необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, чтобы функция была определена в действительных числах.
Условие существования функции:
\[
x — 3 \geq 0,
\]откуда:
\[
x \geq 3.
\]Таким образом, область определения функции:
\[
D(y) = [3; +\infty).
\] - \[
y = (x^2 — 6x — 7)^{-\frac{1}{9}} = \frac{1}{(x^2 — 6x — 7)^{\frac{1}{9}}};
\]Функция содержит степень с отрицательным показателем \(-\frac{1}{9}\), что означает взятие обратного значения от степени с положительным показателем \(\frac{1}{9}\). Поскольку знаменатель не может быть равен нулю, необходимо, чтобы выражение под степенью было строго положительным:
\[
x^2 — 6x — 7 > 0.
\]Для решения неравенства найдем корни квадратного уравнения:
\[
x^2 — 6x — 7 = 0,
\]где дискриминант:
\[
D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64.
\]Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{6 — 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.
\]Так как коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит выражение положительно вне интервала между корнями:
\[
(x + 1)(x — 7) > 0,
\]что эквивалентно:
\[
x < -1 \quad \text{или} \quad x > 7.
\]Таким образом, область определения функции:
\[
D(y) = (-\infty; -1) \cup (7; +\infty).
\]
Алгебра
