ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.8 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

1) \( y = x^{-\frac{2}{3}}; \)

2) \( y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}; \)

3) \( y = (x^2 — x — 30)^{\frac{4}{15}}. \)

Найти область определения функции:

1. \[
   y = x^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x > 0;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = (0; +\infty).
   \]

2. \[
   y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}} = \frac{1}{(x + 1)^{\frac{7}{12}}};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x + 1 > 0;
   \]

   \[
   x > -1;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = (-1; +\infty).
   \]

3. \[
   y = (x^2 — x — 30)^{\frac{4}{15}};
   \]Выражение имеет смысл при:

   \[
   x^2 — x — 30 \geq 0;
   \]

   Дискриминант:

   \[
   D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 30 = 1 + 120 = 121,
   \]

   тогда корни уравнения:

   \[
   x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6;
   \]

   Факторизация:

   \[
   (x + 5)(x — 6) \geq 0;
   \]

   Решение неравенства:

   \[
   x \leq -5 \quad \text{или} \quad x \geq 6;
   \]

   Ответ: \[
   D(y) = (-\infty; -5] \cup [6; +\infty).
   \]

Найти область определения функции:

1. \[
   y = x^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}};
   \]Рассмотрим функцию \(y = x^{\frac{2}{3}}\). Показатель степени \(\frac{2}{3}\) является положительной дробью, где знаменатель 3 указывает на кубический корень, а числитель 2 — на возведение в квадрат.

   Кубический корень определён для всех вещественных чисел, включая отрицательные, однако в данном случае функция записана как \(\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\), то есть в знаменателе стоит выражение \(x^{\frac{2}{3}}\).

   Для того, чтобы функция имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно:

   \[
   x^{\frac{2}{3}} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0.
   \]

   Кроме того, \(x^{\frac{2}{3}}\) определён для всех \(x\), так как кубический корень существует для любого вещественного числа, а возведение в квадрат не меняет область определения.

   Таким образом, область определения функции — все числа, кроме нуля:

   \[
   D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty).
   \]

   Однако в исходном решении указано, что выражение имеет смысл при \(x > 0\), что соответствует ситуации, если рассматривать только положительные значения \(x\) для избежания комплексных значений при возведении в степень с дробным показателем в виде корня.

   Если придерживаться условия положительности, то:

   \[
   x > 0,
   \]

   и тогда область определения:

   \[
   D(y) = (0; +\infty).
   \]

2. \[
   y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}} = \frac{1}{(x + 1)^{\frac{7}{12}}};
   \]Здесь функция содержит отрицательную дробную степень, что эквивалентно взятию обратного значения от степени с положительным показателем \(\frac{7}{12}\).

   Для того чтобы выражение было определено в действительных числах, необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю и чтобы корень с чётным показателем степени был определён.

   Показатель степени \(\frac{7}{12}\) содержит в знаменателе 12 — чётное число, следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   \[
   x + 1 \geq 0,
   \]

   но так как степень стоит в знаменателе, то выражение не должно быть равно нулю:

   \[
   x + 1 > 0,
   \]

   откуда:

   \[
   x > -1.
   \]

   Таким образом, область определения функции:

   \[
   D(y) = (-1; +\infty).
   \]

3. \[
   y = (x^2 — x — 30)^{\frac{4}{15}};
   \]Функция содержит дробную степень с показателем \(\frac{4}{15}\). Поскольку знаменатель показателя степени 15 — нечётное число, то корень 15-й степени определён для отрицательных и положительных чисел.

   Однако числитель показателя степени 4 — чётное число, что означает, что возведение в степень даёт положительное значение вне зависимости от знака подкоренного выражения, если оно определено.

   Для определения области определения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, если знаменатель степени чётный, или любое значение, если знаменатель нечётный. Здесь знаменатель 15 — нечётное число, значит подкоренное выражение может принимать любые значения.

   Тем не менее, в исходном решении указано условие:

   \[
   x^2 — x — 30 \geq 0,
   \]

   что предполагает ограничение области определения только на интервалы, где выражение неотрицательно.

   Рассмотрим квадратное неравенство:

   \[
   x^2 — x — 30 \geq 0.
   \]

   Найдём корни квадратного уравнения:

   \[
   x^2 — x — 30 = 0,
   \]

   где дискриминант:

   \[
   D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121.
   \]

   Корни:

   \[
   x_1 = \frac{1 — 11}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{1 + 11}{2} = 6.
   \]

   Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство \(x^2 — x — 30 \geq 0\) выполняется на промежутках:

   \[
   (-\infty; -5] \cup [6; +\infty).
   \]

   Следовательно, область определения функции:

   \[
   D(y) = (-\infty; -5] \cup [6; +\infty).
   \]