Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.2 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1. \(\sqrt[4]{2x — 2} = 2\)
2. \(\sqrt[3]{x — 4} = 2\)
3. \(\sqrt[5]{x — 6} = -3\)
4. \(\sqrt[3]{x^3 — 2x + 3} = x\)
5. \(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3\)
6. \(\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}\)
Решить уравнение:
1. \(\sqrt[4]{2x — 2} = 2\):
\[
2x — 2 = 16;
2x = 18;
x = \frac{18}{2} = 9.
\]
Ответ: \(9\).
2. \(\sqrt[3]{x — 4} = 2\):
\[
x — 4 = 8;
x = 8 + 4 = 12.
\]
Ответ: \(12\).
3. \(\sqrt[5]{x — 6} = -3\):
\[
x — 6 = -243;
x = 6 — 243 = -237.
\]
Ответ: \(-237\).
4. \(\sqrt[3]{x^3 — 2x + 3} = x\):
\[
x^3 — 2x + 3 = x^3;
2x = 3;
x = \frac{3}{2} = 1,5.
\]
Ответ: \(1,5\).
5. \(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3\):
\[
7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} = 9;
\sqrt[3]{x^2 + 7} = 2;
x^2 + 7 = 8;
x^2 = 1;
x = \pm\sqrt{1} = \pm 1.
\]
Ответ: \(\pm 1\).
6. \(\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}\):
\[
x^2 + 15 = 8(x + 1);
x^2 + 15 = 8x + 8;
x^2 — 8x + 7 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36.
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7.
\]
Ответ: \(1; 7\).
Уравнение 1: \(\sqrt[4]{2x — 2} = 2\)
1. Для начала избавимся от четвёртой степени корня, возведя обе части уравнения в четвёртую степень:
\[
\left(\sqrt[4]{2x — 2}\right)^4 = 2^4.
\]
Это даёт:
\[
2x — 2 = 16.
\]
2. Решим линейное уравнение:
\[
2x = 16 + 2 = 18.
\]
\[
x = \frac{18}{2} = 9.
\]
3. Проверим решение. Подставим \(x = 9\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt[4]{2 \cdot 9 — 2} = \sqrt[4]{18 — 2} = \sqrt[4]{16} = 2.
\]
Всё верно.
Ответ: \(x = 9\).
Уравнение 2: \(\sqrt[3]{x — 4} = 2\)
1. Избавимся от кубического корня, возведя обе части уравнения в третью степень:
\[
\left(\sqrt[3]{x — 4}\right)^3 = 2^3.
\]
Это даёт:
\[
x — 4 = 8.
\]
2. Решим линейное уравнение:
\[
x = 8 + 4 = 12.
\]
3. Проверим решение. Подставим \(x = 12\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt[3]{12 — 4} = \sqrt[3]{8} = 2.
\]
Всё верно.
Ответ:\(x = 12\).
Уравнение 3: \(\sqrt[5]{x — 6} = -3\)
1. Возведём обе части уравнения в пятую степень:
\[
\left(\sqrt[5]{x — 6}\right)^5 = (-3)^5.
\]
Это даёт:
\[
x — 6 = -243.
\]
2. Решим линейное уравнение:
\[
x = -243 + 6 = -237.
\]
3. Проверим решение. Подставим \(x = -237\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt[5]{-237 — 6} = \sqrt[5]{-243} = -3.
\]
Всё верно.
Ответ:\(x = -237\).
Уравнение 4: \(\sqrt[3]{x^3 — 2x + 3} = x\)
1. Возведём обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от кубического корня:
\[
\left(\sqrt[3]{x^3 — 2x + 3}\right)^3 = x^3.
\]
Это даёт:
\[
x^3 — 2x + 3 = x^3.
\]
2. Упростим уравнение:
\[
-2x + 3 = 0.
\]
3. Решим линейное уравнение:
\[
2x = 3, \quad x = \frac{3}{2} = 1,5.
\]
4. Проверим решение. Подставим \(x = 1,5\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt[3]{(1,5)^3 — 2 \cdot 1,5 + 3} = \sqrt[3]{3,375 — 3 + 3} = \sqrt[3]{3,375} = 1,5.
\]
Всё верно.
Ответ: \(x = 1,5\).
Уравнение 5: \(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}} = 3\)
1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
\left(\sqrt{7 + \sqrt[3]{x^2 + 7}}\right)^2 = 3^2.
\]
Это даёт:
\[
7 + \sqrt[3]{x^2 + 7} = 9.
\]
2. Выразим кубический корень:
\[
\sqrt[3]{x^2 + 7} = 9 — 7 = 2.
\]
3. Возведём обе части уравнения в третью степень:
\[
\left(\sqrt[3]{x^2 + 7}\right)^3 = 2^3.
\]
Это даёт:
\[
x^2 + 7 = 8.
\]
4. Решим квадратное уравнение:
\[
x^2 = 8 — 7 = 1.
\]
\[
x = \pm\sqrt{1} = \pm 1.
\]
5. Проверим оба корня (\(x = 1\) и \(x = -1\)) в исходном уравнении. Для обоих случаев:
\[
\sqrt{7 + \sqrt[3]{1^2 + 7}} = \sqrt{7 + \sqrt[3]{8}} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3.
\]
Всё верно.
Ответ: \(x = \pm 1\).
Уравнение 6: \(\sqrt[3]{x^2 + 15} = 2\sqrt[3]{x + 1}\)
1. Возведём обе части уравнения в третью степень:
\[
\left(\sqrt[3]{x^2 + 15}\right)^3 = \left(2\sqrt[3]{x + 1}\right)^3.
\]
Это даёт:
\[
x^2 + 15 = 8(x + 1).
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x^2 + 15 = 8x + 8.
\]
3. Приведём уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 — 8x + 7 = 0.
\]
4. Найдём дискриминант:
\[
D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36.
\]
5. Найдём корни квадратного уравнения:
\[
x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 — 6}{2} = 1,
\]
\[
x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 6}{2} = 7.
\]
6. Проверим оба корня (\(x = 1\) и \(x = 7\)) в исходном уравнении. Для обоих случаев:
\[
\sqrt[3]{1^2 + 15} = \sqrt[3]{16}, \quad 2\sqrt[3]{1 + 1} = 2\sqrt[3]{2}.
\]
Проверка подтверждает правильность обоих решений.
Ответ: \(x = 1; 7\).
Алгебра