ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sqrt{x — 3} = 4\):

2) \(\sqrt{3x^2 — x — 15} = 3\)

3) \(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3\)

Решить уравнение:

1) \(\sqrt{x — 3} = 4\):
\[
x — 3 = 16;
x = 16 + 3 = 19.
\]

Ответ: \(19\).

2) \( \sqrt{3x^2 — x — 15} = 3; \)

\( 3x^2 — x — 15 = 9; \)

\( 3x^2 — x — 24 = 0; \)

\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 24 = 1 + 288 = 289, \) тогда:

\( x_1 = \frac{1 — 17}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3}; \)

\( x_2 = \frac{1 + 17}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3; \)

Ответ: \(-2 \frac{2}{3}; \quad 3.\)

3) \(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3\):
\[
25 + \sqrt{x^2 + 3} = 27;
\sqrt{x^2 + 3} = 2.
\]

Возведём обе части в квадрат:
\[
x^2 + 3 = 4;
x^2 = 1.
\]

Тогда:
\[
x = \pm\sqrt{1} = \pm 1.
\]

Ответ: \(\pm 1\).

Уравнение 1: \(\sqrt{x — 3} = 4\)

1. Для начала избавимся от квадратного корня, возведя обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{x — 3})^2 = 4^2.
\]

Это даёт:
\[
x — 3 = 16.
\]

2. Решим линейное уравнение:
\[
x = 16 + 3 = 19.
\]

3. Проверим решение. Подставим \(x = 19\) в исходное уравнение:
\[
\sqrt{19 — 3} = \sqrt{16} = 4.
\]

Всё верно.

Ответ: \(x = 19\).

Уравнение 2: \(\sqrt{3x^2 — x — 15} = 3\)

2) \( \sqrt{3x^2 — x — 15} = 3; \)

Для начала избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе части равенства в квадрат:

\( 3x^2 — x — 15 = 9; \)

Теперь у нас получилось квадратное уравнение. Переносим все члены на одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:

\( 3x^2 — x — 15 — 9 = 0; \)

\( 3x^2 — x — 24 = 0; \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Для квадратного уравнения вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \),

где \( a = 3 \), \( b = -1 \), и \( c = -24 \). Подставляем значения в формулу для дискриминанта:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-24) = 1 + 288 = 289; \)

Теперь, зная дискриминант, мы можем найти корни уравнения. Корни вычисляются по формулам:

\( x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} \), и \( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}. \)

Подставляем значения \( a = 3 \), \( b = -1 \), и \( D = 289 \) в эти формулы:

\( x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{1 — 17}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} = -2 \frac{2}{3}; \)

\( x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 17}{6} = \frac{18}{6} = 3. \)

Таким образом, корни уравнения: \( x_1 = -2 \frac{2}{3} \) и \( x_2 = 3. \)

Ответ: \(-2 \frac{2}{3}; \quad 3.\)

Уравнение 3: \(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}} = 3\)

1. Избавимся от кубического корня, возведя обе части уравнения в третью степень:
\[
\left(\sqrt[3]{25 + \sqrt{x^2 + 3}}\right)^3 = 3^3.
\]

Это даёт:
\[
25 + \sqrt{x^2 + 3} = 27.
\]

2. Выразим квадратный корень:
\[
\sqrt{x^2 + 3} = 27 — 25 = 2.
\]

3. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{x^2 + 3})^2 = 2^2.
\]

Это даёт:
\[
x^2 + 3 = 4.
\]

4. Решим линейное уравнение:
\[
x^2 = 4 — 3 = 1.
\]

\[
x = \pm\sqrt{1} = \pm 1.
\]

5. Проверим оба корня:
— Для \(x = 1\):
\[
\sqrt[3]{25 + \sqrt{1^2 + 3}} = \sqrt[3]{25 + \sqrt{4}} = \sqrt[3]{25 + 2} = \sqrt[3]{27} = 3.
\]

Всё верно.

— Для \(x = -1\):
\[
\sqrt[3]{25 + \sqrt{(-1)^2 + 3}} = \sqrt[3]{25 + \sqrt{4}} = \sqrt[3]{27} = 3.
\]

Всё верно.

Ответ: \(x = \pm 1\).