Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)
2) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)
3) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)
4) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)
Уравнение 1: \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)
1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = 3 — x \quad \Rightarrow \quad 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}.
\]
Ответ: \(x = 1 \frac{1}{3}\).
Уравнение 2: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)
1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = 1 — 2x \quad \Rightarrow \quad 4x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 0,5.
\]
2. Проверяем ОДЗ:
\[
x \geq 0,5 \, \text{и} \, x \leq 0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 0,5.
\]
Уравнение 3: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)
1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = x — 3 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\]
2. Проверяем ОДЗ:
\[
x \geq 0,5 \, \text{и} \, x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет}.
\]
Ответ: корней нет.
Уравнение 4: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)
1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = x^2 + 4x — 16 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x — 15 = 0.
\]
2. Решаем квадратное уравнение:
\[
x_1 = -5, \, x_2 = 3.
\]
3. Проверяем корни:
— \(x = -5\) не подходит (\(\sqrt{-11}\) не имеет смысла).
— \(x = 3\) подходит.
Ответ: \(x = 3\).
Уравнение 1: \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)
1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = 3 — x.
\]
2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x + x = 3 + 1.
\]
\[
3x = 4.
\]
3. Разделим на 3:
\[
x = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}.
\]
Ответ:\(x = 1 \frac{1}{3}\).
Уравнение 2: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)
1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = 1 — 2x.
\]
2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x + 2x = 1 + 1.
\]
\[
4x = 2.
\]
3. Разделим на 4:
\[
x = \frac{2}{4} = 0,5.
\]
4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— \(\sqrt{2x — 1}\) имеет смысл, если \(2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0,5\).
— \(\sqrt{1 — 2x}\) имеет смысл, если \(1 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0,5\).
Таким образом, \(x = 0,5\) удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: \(x = 0,5\).
Уравнение 3: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)
1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = x — 3.
\]
2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x — x = -3 + 1.
\]
\[
x = -2.
\]
3. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— \(\sqrt{2x — 1}\) имеет смысл, если \(2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0,5\).
— \(\sqrt{x — 3}\) имеет смысл, если \(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\).
\(x = -2\) не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: корней нет.
Уравнение 4: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)
1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = x^2 + 4x — 16.
\]
2. Переносим все члены в одну сторону:
\[
x^2 + 4x — 16 — 2x + 1 = 0.
\]
\[
x^2 + 2x — 15 = 0.
\]
3. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\]
4. Найдём корни:
\[
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5.
\]
\[
x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3.
\]
5. Проверим корни:
— Для \(x = -5\):
\[
\sqrt{2 \cdot (-5) — 1} = \sqrt{-11} \quad \text{(нет смысла)}.
\]
— Для \(x = 3\):
\[
\sqrt{2 \cdot 3 — 1} = \sqrt{6 — 1} = \sqrt{5}.
\]
\[
\sqrt{3^2 + 4 \cdot 3 — 16} = \sqrt{9 + 12 — 16} = \sqrt{5}.
\]
Всё верно.
Ответ: \(x = 3\).
Алгебра
