ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)

2) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)

3) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)

4) \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)

Уравнение 1: \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)

1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = 3 — x \quad \Rightarrow \quad 3x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4}{3}.
\]

Ответ: \(x = 1 \frac{1}{3}\).

Уравнение 2: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)

1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = 1 — 2x \quad \Rightarrow \quad 4x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 0,5.
\]

2. Проверяем ОДЗ:
\[
x \geq 0,5 \, \text{и} \, x \leq 0,5 \quad \Rightarrow \quad x = 0,5.
\]

Уравнение 3: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)

1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = x — 3 \quad \Rightarrow \quad x = -2.
\]

2. Проверяем ОДЗ:
\[
x \geq 0,5 \, \text{и} \, x \geq 3 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет}.
\]

Ответ: корней нет.

Уравнение 4: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)

1. Возводим в квадрат:
\[
2x — 1 = x^2 + 4x — 16 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x — 15 = 0.
\]

2. Решаем квадратное уравнение:
\[
x_1 = -5, \, x_2 = 3.
\]

3. Проверяем корни:
— \(x = -5\) не подходит (\(\sqrt{-11}\) не имеет смысла).
— \(x = 3\) подходит.

Ответ: \(x = 3\).

Уравнение 1: \(\sqrt[7]{2x — 1} = \sqrt[7]{3 — x}\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = 3 — x.
\]

2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x + x = 3 + 1.
\]

\[
3x = 4.
\]

3. Разделим на 3:
\[
x = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}.
\]

Ответ:\(x = 1 \frac{1}{3}\).

Уравнение 2: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{1 — 2x}\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = 1 — 2x.
\]

2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x + 2x = 1 + 1.
\]

\[
4x = 2.
\]

3. Разделим на 4:
\[
x = \frac{2}{4} = 0,5.
\]

4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— \(\sqrt{2x — 1}\) имеет смысл, если \(2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0,5\).
— \(\sqrt{1 — 2x}\) имеет смысл, если \(1 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0,5\).

Таким образом, \(x = 0,5\) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(x = 0,5\).

Уравнение 3: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x — 3}\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = x — 3.
\]

2. Переносим все члены с \(x\) в одну сторону:
\[
2x — x = -3 + 1.
\]

\[
x = -2.
\]

3. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— \(\sqrt{2x — 1}\) имеет смысл, если \(2x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0,5\).
— \(\sqrt{x — 3}\) имеет смысл, если \(x — 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3\).

\(x = -2\) не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: корней нет.

Уравнение 4: \(\sqrt{2x — 1} = \sqrt{x^2 + 4x — 16}\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат:
\[
2x — 1 = x^2 + 4x — 16.
\]

2. Переносим все члены в одну сторону:
\[
x^2 + 4x — 16 — 2x + 1 = 0.
\]

\[
x^2 + 2x — 15 = 0.
\]

3. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\[
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64.
\]

4. Найдём корни:
\[
x_1 = \frac{-2 — \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 — 8}{2} = -5.
\]

\[
x_2 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3.
\]

5. Проверим корни:
— Для \(x = -5\):
\[
\sqrt{2 \cdot (-5) — 1} = \sqrt{-11} \quad \text{(нет смысла)}.
\]

— Для \(x = 3\):
\[
\sqrt{2 \cdot 3 — 1} = \sqrt{6 — 1} = \sqrt{5}.
\]

\[
\sqrt{3^2 + 4 \cdot 3 — 16} = \sqrt{9 + 12 — 16} = \sqrt{5}.
\]

Всё верно.

Ответ: \(x = 3\).