Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.6 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \[
\sqrt{2 — x} = x; \quad 2 — x = x^2;
\]
2) \[
\sqrt{x + 1} = x — 1; \quad x + 1 = (x — 1)^2;
\]
3) \[
\sqrt{3x — 2} = x; \quad 3x — 2 = x^2;
\]
4) \[
\sqrt{2x^2 — 3x — 10} = x; \quad 2x^2 — 3x — 10 = x^2;
\]
5) \[
2\sqrt{x + 5} = x + 2; \quad 4(x + 5) = (x + 2)^2;
\]
6) \[
\sqrt{15 — 3x — 1} = x; \quad \sqrt{15 — 3x} = x + 1;
\]
7) \[
x — \sqrt{2x^2 + x — 21} = 3; \quad x — 3 = \sqrt{2x^2 + x — 21};
\]
8) \[
x + 2 + \sqrt{8 — 3x — x^2} = 0; \quad \sqrt{8 — 3x — x^2} = -(x + 2);
\]
1. Уравнение 1
\[
\sqrt{2 — x} = x; \quad 2 — x = x^2;
\]
\[
x^2 + x — 2 = 0;
\]
\[
D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;
\]
ОДЗ:
\[
2 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2; \quad x \geq 0.
\]
Ответ: \(x = 1\).
2. Уравнение 2
\[
\sqrt{x + 1} = x — 1; \quad x + 1 = (x — 1)^2;
\]
\[
x + 1 = x^2 — 2x + 1; \quad x^2 — 3x = 0;
\]
\[
x(x — 3) = 0; \quad x_1 = 0, \quad x_2 = 3.
\]
ОДЗ:
\[
x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1; \quad x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1.
\]
Ответ: \(x = 3\).
3. Уравнение 3
\[
\sqrt{3x — 2} = x; \quad 3x — 2 = x^2;
\]
\[
x^2 — 3x + 2 = 0;
\]
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.
\]
ОДЗ:
\[
3x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}; \quad x \geq 0.
\]
Ответ: \(x = 1; 2\).
4. Уравнение 4
\[
\sqrt{2x^2 — 3x — 10} = x; \quad 2x^2 — 3x — 10 = x^2;
\]
\[
x^2 — 3x — 10 = 0;
\]
\[
D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \quad x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5.
\]
Проверка:
\[
\sqrt{2 \cdot 5^2 — 3 \cdot 5 — 10} = 5.
\]
Ответ: \(x = 5\).
5. Уравнение 5
\[
2\sqrt{x + 5} = x + 2; \quad 4(x + 5) = (x + 2)^2;
\]
\[
4x + 20 = x^2 + 4x + 4; \quad x^2 — 16 = 0;
\]
\[
x = \pm \sqrt{16} = \pm 4.
\]
ОДЗ:
\[
x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -5; \quad x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2.
\]
Ответ: \(x = 4\).
6. Уравнение 6
\[
\sqrt{15 — 3x — 1} = x; \quad \sqrt{15 — 3x} = x + 1;
\]
\[
15 — 3x = (x + 1)^2; \quad 15 — 3x = x^2 + 2x + 1;
\]
\[
x^2 + 5x — 14 = 0;
\]
\[D = 5^2 + 4 \cdot 14 = 25 + 56 = 81, \quad x_1 = \frac{-5 — 9}{2}\]
\[= -7, \quad x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2.\]
ОДЗ:
\[
15 — 3x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5; \quad x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.
\]
Ответ: \(x = 2\).
7. Уравнение 7
\[
x — \sqrt{2x^2 + x — 21} = 3; \quad x — 3 = \sqrt{2x^2 + x — 21};
\]
\[
(x — 3)^2 = 2x^2 + x — 21;
\]
\[
x^2 — 6x + 9 = 2x^2 + x — 21; \quad x^2 + 7x — 30 = 0;
\]
\[D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169, \quad x_1 = \frac{-7 — 13}{2}=\]
\[= -10, \quad x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3.\]
Проверка:
\[
x = -10 \; \text{не подходит, так как } x — 3 < 0.
\]
Ответ: \(x = 3\).
8. Уравнение 8
\[
x + 2 + \sqrt{8 — 3x — x^2} = 0; \quad \sqrt{8 — 3x — x^2} = -(x + 2);
\]
\[
8 — 3x — x^2 = x^2 + 4x + 4; \quad 2x^2 + 7x — 4 = 0;
\]
\[D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 4 = 49 + 32 = 81, \quad x_1=\]
\[= \frac{-7 — 9}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0.5.\]
Проверка:
\[
x = -4 \; \text{подходит, так как } \sqrt{8 — 3(-4) — (-4)^2} = 0.
\]
Ответ: \(x = -4\).
1. Уравнение:
\[
\sqrt{2 — x} = x
\]
Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{2 — x})^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad 2 — x = x^2
\]
2. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 + x — 2 = 0
\]
3. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\]
4. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\]
5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
2 — x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2
\]
— Корень должен быть определен:
\[
x \geq 0
\]
Таким образом, \(0 \leq x \leq 2\).
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
— \(x = -2\) не удовлетворяет \(x \geq 0\).
— \(x = 1\) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: \(x = 1\).
2. Уравнение:
\[
\sqrt{x + 1} = x — 1
\]
Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{x + 1})^2 = (x — 1)^2 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = (x — 1)^2
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x + 1 = x^2 — 2x + 1
\]
3. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 — 3x = 0
\]
4. Разложим на множители:
\[
x(x — 3) = 0
\]
5. Найдем корни:
\[
x_1 = 0, \quad x_2 = 3
\]
6. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1
\]
— Правая часть уравнения должна быть определена:
\[
x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1
\]
Таким образом, \(x \geq 1\).
7. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
— \(x = 0\) не удовлетворяет \(x \geq 1\).
— \(x = 3\) удовлетворяет.
Ответ: \(x = 3\).
3. Уравнение:
\[
\sqrt{3x — 2} = x
\]
Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{3x — 2})^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad 3x — 2 = x^2
\]
2. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 — 3x + 2 = 0
\]
3. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\]
4. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\]
5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
3x — 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{2}{3}
\]
— Корень должен быть определен:
\[
x \geq 0
\]
Таким образом, \(x \geq \frac{2}{3}\).
6. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
— \(x = 1\) удовлетворяет \(x \geq \frac{2}{3}\).
— \(x = 2\) также удовлетворяет \(x \geq \frac{2}{3}\).
Ответ: \(x = 1; 2\).
4. Уравнение:
\[
\sqrt{2x^2 — 3x — 10} = x
\]
Решение:
1. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{2x^2 — 3x — 10})^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 3x — 10 = x^2
\]
2. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 — 3x — 10 = 0
\]
3. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
\]
4. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5
\]
5. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
2x^2 — 3x — 10 \geq 0
\]
После анализа области значений видно, что \(x = 5\) подходит.
6. Проверка:
\[
\sqrt{2 \cdot 5^2 — 3 \cdot 5 — 10} = 5
\]
Ответ: \(x = 5\).
5. Уравнение:
\[
2\sqrt{x + 5} = x + 2
\]
Решение:
1. Разделим обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение:
\[
\sqrt{x + 5} = \frac{x + 2}{2}
\]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{x + 5})^2 = \left(\frac{x + 2}{2}\right)^2 \quad \Rightarrow \quad x + 5 = \frac{(x + 2)^2}{4}
\]
3. Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от знаменателя:
\[
4(x + 5) = (x + 2)^2
\]
4. Раскроем скобки:
\[
4x + 20 = x^2 + 4x + 4
\]
5. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 + 4x + 4 — 4x — 20 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 16 = 0
\]
6. Разложим на множители:
\[
x^2 — 16 = (x — 4)(x + 4) = 0
\]
7. Найдем корни:
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = -4
\]
8. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5
\]
— Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
\[
x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -2
\]
Таким образом, \(x \geq -2\).
9. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
— \(x = -4\) не удовлетворяет \(x \geq -2\).
— \(x = 4\) удовлетворяет.
10. Проверка для \(x = 4\):
\[
2\sqrt{4 + 5} = 4 + 2 \quad \Rightarrow \quad 2 \cdot 3 = 6
\]
Уравнение верно.
Ответ: \(x = 4\).
6. Уравнение:
\[
\sqrt{15 — 3x} — 1 = x
\]
Решение:
1. Перенесем \(1\) в правую часть:
\[
\sqrt{15 — 3x} = x + 1
\]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{15 — 3x})^2 = (x + 1)^2 \quad \Rightarrow \quad 15 — 3x = x^2 + 2x + 1
\]
3. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 + 2x + 1 + 3x — 15 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 5x — 14 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81
\]
5. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 \pm 9}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{-5 — 9}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2
\]
6. Проверим область допустимых значений (ОДЗ):
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
15 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5
\]
— Правая часть уравнения должна быть неотрицательной:
\[
x + 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1
\]
Таким образом, \(-1 \leq x \leq 5\).
7. Проверим корни на соответствие ОДЗ:
— \(x = -7\) не удовлетворяет \(x \geq -1\).
— \(x = 2\) удовлетворяет.
8. Проверка для \(x = 2\):
\[
\sqrt{15 — 3 \cdot 2} — 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{15 — 6} — 1 = 2 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{9} — 1 = 2
\]
Уравнение верно.
Ответ: \(x = 2\).
7. Уравнение:
\[
x — \sqrt{2x^2 + x — 21} = 3
\]
Решение:
1. Перенесем \(3\) в правую часть:
\[
x — 3 = \sqrt{2x^2 + x — 21}
\]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(x — 3)^2 = 2x^2 + x — 21
\]
3. Раскроем скобки:
\[
x^2 — 6x + 9 = 2x^2 + x — 21
\]
4. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
x^2 — 6x + 9 — 2x^2 — x + 21 = 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 — 7x + 30 = 0
\]
5. Умножим на \(-1\), чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:
\[
x^2 + 7x — 30 = 0
\]
6. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169
\]
7. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 \pm 13}{2}
\]
\[
x_1 = \frac{-7 — 13}{2} = -10, \quad x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3
\]
8. Проверим область допустимых значений:
— Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\[
2x^2 + x — 21 \geq 0
\]
После анализа видно, что \(x = 3\) подходит.
9. Проверка для \(x = 3\):
\[3 — \sqrt{2 \cdot 3^2 + 3 — 21} = 3 \quad \Rightarrow \quad 3 — \sqrt{18 + 3 — 21}\]
\[= 3 \quad \Rightarrow \quad 3 — \sqrt{0} = 3\]
Уравнение верно.
Ответ: \(x = 3\).
8. Уравнение:
\[
x + 2 + \sqrt{8 — 3x — x^2} = 0
\]
Решение:
1. Перенесем \(x + 2\) в правую часть:
\[
\sqrt{8 — 3x — x^2} = -(x + 2)
\]
2. Возведем обе части уравнения в квадрат:
\[
(\sqrt{8 — 3x — x^2})^2 = (-(x + 2))^2 \quad \Rightarrow \quad 8 — 3x — x^2 = x^2 + 4x + 4
\]
3. Приведем уравнение к стандартному виду:
\[
8 — 3x — x^2 — x^2 — 4x — 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x^2 — 7x + 4 = 0
\]
4. Умножим на \(-1\):
\[
2x^2 + 7x — 4 = 0
\]
5. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81
\]
6. Найдем корни:
\[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-7 \pm 9}{4}
\]
\[
x_1 = \frac{-7 — 9}{4} = -4, \quad x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = 0.5
\]
7. Проверим область допустимых значений. Видно, что \(x = -4\) удовлетворяет всем условиям.
Ответ: \(x = -4\).
Алгебра
