Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 11.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите уравнение:
1) \[
\sqrt{10 — 3x} = -x
\]
2) \[
x = \sqrt{x + 5} + 1
\]
3) \[
\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2
\]
4) \[
3\sqrt{x + 10} — 11 = 2x
\]
5) \[
x — \sqrt{3x^2 — 11x — 20} = 5
\]
1) Уравнение:
\[
\sqrt{10 — 3x} = -x
\]
Решение:
1. Упростим:
\[
10 — 3x = x^2
\]
\[
x^2 + 3x — 10 = 0
\]
2. Находим дискриминант:
\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
\]
3. Корни:
\[
x_1 = \frac{-3 — 7}{2} = -5, \quad x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2
\]
4. Проверяем область определения:
\[
10 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{10}{3}
\]
\[
-x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0
\]
Итог: \(x \leq 0\).
5. Подходит только \(x = -5\).
Ответ: \(-5\).
2) Уравнение:
\[
x = \sqrt{x + 5} + 1
\]
Решение:
1. Упростим:
\[
\sqrt{x + 5} = x — 1
\]
\[
x + 5 = (x — 1)^2
\]
\[
x + 5 = x^2 — 2x + 1
\]
\[
x^2 — 3x — 4 = 0
\]
2. Находим дискриминант:
\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]
3. Корни:
\[
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4
\]
4. Проверяем область определения:
\[
x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5
\]
\[
x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1
\]
Итог: \(x \geq 1\).
5. Подходит только \(x = 4\).
Ответ: \(4\).
3) Уравнение:
\[
\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2
\]
Решение:
1. Упростим:
\[
2x^2 + 5x + 4 = (2x + 2)^2
\]
\[
2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4
\]
\[
2x^2 + 3x = 0
\]
\[
x(2x + 3) = 0
\]
2. Корни:
\[
x_1 = -1.5, \quad x_2 = 0
\]
3. Проверяем область определения:
\[
2x^2 + 5x + 4 \geq 0
\]
\[
2x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1
\]
Подходит только \(x = 0\).
Ответ: \(0\).
4) Уравнение:
\[
3\sqrt{x + 10} — 11 = 2x
\]
Решение:
1. Упростим:
\[
3\sqrt{x + 10} = 2x + 11
\]
\[
9(x + 10) = (2x + 11)^2
\]
\[
9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121
\]
\[
4x^2 + 35x + 31 = 0
\]
2. Находим дискриминант:
\[
D = 35^2 — 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 — 496 = 729
\]
3. Корни:
\[
x_1 = \frac{-35 — 27}{8} = -7.75, \quad x_2 = \frac{-35 + 27}{8} = -1
\]
4. Проверяем область определения:
\[
x + 10 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -10
\]
\[
2x + 11 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5.5
\]
Подходит только \(x = -1\).
Ответ: \(-1\).
5) Уравнение:
\[
x — \sqrt{3x^2 — 11x — 20} = 5
\]
Решение:
1. Упростим:
\[
\sqrt{3x^2 — 11x — 20} = x — 5
\]
\[
3x^2 — 11x — 20 = (x — 5)^2
\]
\[
3x^2 — 11x — 20 = x^2 — 10x + 25
\]
\[
2x^2 — x — 45 = 0
\]
2. Находим дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361
\]
3. Корни:
\[
x_1 = \frac{-1 — 19}{4} = -4.5, \quad x_2 = \frac{-1 + 19}{4} = 5
\]
4. Проверяем область определения:
\[
x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5
\]
Подходит только \(x = 5\).
Ответ: \(5\).
1) Уравнение:
\[
\sqrt{10 — 3x} = -x
\]
Решение:
1. Преобразование уравнения:
Начнем с возведения обеих частей уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[
(\sqrt{10 — 3x})^2 = (-x)^2
\]
\[
10 — 3x = x^2
\]
2. Приведение к квадратному уравнению:
— Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 + 3x — 10 = 0
\]
3. Решение квадратного уравнения:
— Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[
D = b^2 — 4ac = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
\]
— Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 — 7}{2} = -5
\]
\[
x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 7}{2} = 2
\]
4. Проверка области определения:
— Условие существования квадратного корня:
\[
10 — 3x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{10}{3}
\]
— Условие для правой части:
\[
-x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 0
\]
— Объединяя условия, получаем \(x \leq 0\).
5. Выбор подходящего корня:
— Подходит только \(x = -5\), так как \(x = 2\) не удовлетворяет условию \(x \leq 0\).
Ответ: \(-5\).
2) Уравнение:
\[
x = \sqrt{x + 5} + 1
\]
Решение:
1. Преобразование уравнения:
— Переносим 1 в левую часть:
\[
\sqrt{x + 5} = x — 1
\]
— Возводим обе части в квадрат:
\[
x + 5 = (x — 1)^2
\]
\[
x + 5 = x^2 — 2x + 1
\]
2. Приведение к квадратному уравнению:
— Переносим все члены на одну сторону:
\[
x^2 — 3x — 4 = 0
\]
3. Решение квадратного уравнения:
— Находим дискриминант:
\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]
— Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1
\]
\[
x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4
\]
4. Проверка области определения:
— Условие существования квадратного корня:
\[
x + 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5
\]
— Условие для правой части:
\[
x — 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1
\]
— Объединяя условия, получаем \(x \geq 1\).
5. Выбор подходящего корня:
— Подходит только \(x = 4\), так как \(x = -1\) не удовлетворяет условию \(x \geq 1\).
Ответ: \(4\).
3) Уравнение:
\[
\sqrt{2x^2 + 5x + 4} = 2x + 2
\]
Решение:
1. Преобразование уравнения:
— Возводим обе части в квадрат:
\[
2x^2 + 5x + 4 = (2x + 2)^2
\]
\[
2x^2 + 5x + 4 = 4x^2 + 8x + 4
\]
2. Приведение к квадратному уравнению:
— Переносим все члены на одну сторону:
\[
2x^2 + 3x = 0
\]
— Разложим на множители:
\[
x(2x + 3) = 0
\]
3. Корни уравнения:
— \(x_1 = -1.5\)
— \(x_2 = 0\)
4. Проверка области определения:
— Условие существования квадратного корня:
\[
2x^2 + 5x + 4 \geq 0
\]
— Условие для правой части:
\[
2x + 2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -1
\]
— Подходит только \(x = 0\).
Ответ: \(0\).
4) Уравнение:
\[
3\sqrt{x + 10} — 11 = 2x
\]
Решение:
1. Преобразование уравнения:
— Переносим 11 в правую часть:
\[
3\sqrt{x + 10} = 2x + 11
\]
— Возводим обе части в квадрат:
\[
9(x + 10) = (2x + 11)^2
\]
\[
9x + 90 = 4x^2 + 44x + 121
\]
2. Приведение к квадратному уравнению:
— Переносим все члены на одну сторону:
\[
4x^2 + 35x + 31 = 0
\]
3. Решение квадратного уравнения:
— Находим дискриминант:
\[
D = 35^2 — 4 \cdot 4 \cdot 31 = 1225 — 496 = 729
\]
— Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-35 — 27}{8} = -7.75
\]
\[
x_2 = \frac{-35 + 27}{8} = -1
\]
4. Проверка области определения:
— Условие существования квадратного корня:
\[
x + 10 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -10
\]
— Условие для правой части:
\[
2x + 11 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq -5.5
\]
— Подходит только \(x = -1\).
Ответ: \(-1\).
5) Уравнение:
\[
x — \sqrt{3x^2 — 11x — 20} = 5
\]
Решение:
1. Преобразование уравнения:
— Переносим 5 в левую часть:
\[
\sqrt{3x^2 — 11x — 20} = x — 5
\]
— Возводим обе части в квадрат:
\[
3x^2 — 11x — 20 = (x — 5)^2
\]
\[
3x^2 — 11x — 20 = x^2 — 10x + 25
\]
2. Приведение к квадратному уравнению:
— Переносим все члены на одну сторону:
\[
2x^2 — x — 45 = 0
\]
3. Решение квадратного уравнения:
— Находим дискриминант:
\[
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-45) = 1 + 360 = 361
\]
— Корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-1 — 19}{4} = -4.5
\]
\[
x_2 = \frac{-1 + 19}{4} = 5
\]
4. Проверка области определения:
— Условие существования квадратного корня:
\[
x — 5 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5
\]
— Подходит только \(x = 5\).
Ответ: \(5\).
Алгебра
