ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) \( y = 3x — 1 \);

2) \( y = x^2 — 4, \; \text{если } x \ge 0 \);

3) \( y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0. \end{cases} \)

Построить в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) \( y = 3x — 1 \):
Данное уравнение является уравнением прямой. Для построения графика достаточно выбрать несколько точек.
Таблица значений для исходной функции:

Обратная функция находится путём выражения \( x \) через \( y \):
\( y + 1 = 3x \),
\( x = \frac{y + 1}{3} \),
следовательно, обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \).
На графике прямая и её обратная будут симметричны относительно прямой \( y = x \).

2) \( y = x^2 — 4, \quad x \geq 0 \):
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, вершина в точке \( (0, -4) \).
Таблица значений для исходной функции:

Находим обратную функцию: \( y = x^2 — 4 \Rightarrow x^2 = y + 4 \), при \( x \geq 0 \) получаем \( x = \sqrt{y + 4} \).
Обратная функция: \( y = \sqrt{x + 4} \).
Графики исходной и обратной функций будут симметричны относительно линии \( y = x \).

\[
3)y =
\begin{cases}
\sqrt{x}, & x \geq 0, \\
\frac{1}{2}x, & x < 0
\end{cases}
\]

Для первой части \( y = \sqrt{x} \) (ветвь параболы, расположенная в первой четверти):

Для второй части \( y = \frac{1}{2}x \) (прямая в третьей и второй четвертях):

Обратная функция будет иметь вид:
Для \( x \geq 0 \): \( x = y^2 \).
Для \( x < 0 \): \( x = 2y \).
Графики исходной и обратной функций будут симметричны относительно прямой \( y = x \).

Построить в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) \( y = 3x — 1 \)
Данное уравнение представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом \( 3 \) и точкой пересечения с осью \( y \) в координате \( -1 \). Линейная функция всегда изображается прямой, и для построения её графика достаточно найти координаты двух точек, через которые эта прямая проходит.
Для наглядности выберем два значения аргумента \( x \) и рассчитаем соответствующие значения функции \( y \):
При \( x = 0 \): \( y = 3 \cdot 0 — 1 = -1 \), то есть точка \( (0; -1) \).
При \( x = 2 \): \( y = 3 \cdot 2 — 1 = 5 \), то есть точка \( (2; 5) \).
Таблица значений для построения графика:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их прямой, получим график исходной функции.
Чтобы построить график обратной функции, нужно найти её аналитический вид. Для этого меняем местами \( x \) и \( y \) в исходном уравнении \( y = 3x — 1 \) и решаем его относительно \( y \):
\( x = 3y — 1 \Rightarrow 3y = x + 1 \Rightarrow y = \frac{x + 1}{3} \).
Таким образом, обратная функция имеет вид \( y = \frac{x + 1}{3} \). Её график также является прямой, но с угловым коэффициентом \( \frac{1}{3} \), и он симметричен графику исходной функции относительно линии \( y = x \).

2) \( y = x^2 — 4, \quad x \geq 0 \)
Данное уравнение описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \( (0; -4) \). Так как область определения ограничена условием \( x \geq 0 \), рассматривается только правая ветвь параболы.
Найдём несколько характерных точек для построения графика:
При \( x = 0 \): \( y = 0^2 — 4 = -4 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1^2 — 4 = -3 \).
При \( x = 2 \): \( y = 2^2 — 4 = 0 \).
При \( x = 3 \): \( y = 3^2 — 4 = 5 \).
Таблица значений:

Для нахождения обратной функции снова меняем местами \( x \) и \( y \):
\( x = y^2 — 4 \Rightarrow y^2 = x + 4 \Rightarrow y = \sqrt{x + 4} \), так как рассматриваем только положительные значения \( y \) из-за \( x \geq 0 \).
Обратная функция \( y = \sqrt{x + 4} \) описывает ветвь параболы, расположенной в первой четверти, и симметрична исходной функции относительно прямой \( y = x \).

\(
3)y =
\begin{cases}
\sqrt{x}, & x \geq 0, \\
\frac{x}{2}, & x < 0
\end{cases}
\)

Эта функция составная и состоит из двух частей. Для \( x \geq 0 \) функция имеет вид \( y = \sqrt{x} \), то есть является ветвью параболы, расположенной в первой четверти и начинающейся в начале координат. Для \( x < 0 \) функция имеет вид \( y = \frac{x}{2} \), то есть является прямой с угловым коэффициентом \( 0,5 \), проходящей через начало координат и лежащей в третьей и четвертой четвертях.
Характерные точки для ветви параболы (\( x \geq 0 \)):
\( x = 1 \Rightarrow y = 1 \),
\( x = 4 \Rightarrow y = 2 \),
\( x = 9 \Rightarrow y = 3 \).

Характерные точки для прямой (\( x < 0 \)):
\( x = -4 \Rightarrow y = -2 \),
\( x = 0 \Rightarrow y = 0 \).

Для нахождения обратной функции разбиваем решение на два случая:
Для \( y \geq 0 \) (ветвь параболы): \( y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2 \).
Для \( y < 0 \) (прямая): \( y = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2y \).
Таким образом, обратная функция также является кусочной и строится симметрично исходной относительно линии \( y = x \).