Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:
1) \( y = 3x — 1 \);
2) \( y = x^2 — 4, \; \text{если } x \ge 0 \);
3) \( y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0, \\ \frac{1}{2}x, & \text{если } x < 0. \end{cases} \)
Построить в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:
1) \( y = 3x — 1 \):
Данное уравнение является уравнением прямой. Для построения графика достаточно выбрать несколько точек.
Таблица значений для исходной функции:
| \( x \) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \( y \) | -1 | 5 |
Обратная функция находится путём выражения \( x \) через \( y \):
\( y + 1 = 3x \),
\( x = \frac{y + 1}{3} \),
следовательно, обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \).
На графике прямая и её обратная будут симметричны относительно прямой \( y = x \).
2) \( y = x^2 — 4, \quad x \geq 0 \):
Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, вершина в точке \( (0, -4) \).
Таблица значений для исходной функции:
| \( x \) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| \( y \) | -3 | 0 | 5 |
Находим обратную функцию: \( y = x^2 — 4 \Rightarrow x^2 = y + 4 \), при \( x \geq 0 \) получаем \( x = \sqrt{y + 4} \).
Обратная функция: \( y = \sqrt{x + 4} \).
Графики исходной и обратной функций будут симметричны относительно линии \( y = x \).
\[
3)y =
\begin{cases}
\sqrt{x}, & x \geq 0, \\
\frac{1}{2}x, & x < 0
\end{cases}
\]
Для первой части \( y = \sqrt{x} \) (ветвь параболы, расположенная в первой четверти):
| \( x \) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \( y \) | 1 | 2 | 3 |
Для второй части \( y = \frac{1}{2}x \) (прямая в третьей и второй четвертях):
| \( x \) | -4 | 0 |
|---|---|---|
| \( y \) | -2 | 0 |
Обратная функция будет иметь вид:
Для \( x \geq 0 \): \( x = y^2 \).
Для \( x < 0 \): \( x = 2y \).
Графики исходной и обратной функций будут симметричны относительно прямой \( y = x \).
Построить в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:
1) \( y = 3x — 1 \)
Данное уравнение представляет собой линейную функцию с угловым коэффициентом \( 3 \) и точкой пересечения с осью \( y \) в координате \( -1 \). Линейная функция всегда изображается прямой, и для построения её графика достаточно найти координаты двух точек, через которые эта прямая проходит.
Для наглядности выберем два значения аргумента \( x \) и рассчитаем соответствующие значения функции \( y \):
При \( x = 0 \): \( y = 3 \cdot 0 — 1 = -1 \), то есть точка \( (0; -1) \).
При \( x = 2 \): \( y = 3 \cdot 2 — 1 = 5 \), то есть точка \( (2; 5) \).
Таблица значений для построения графика:
| \( x \) | 0 | 2 |
|---|---|---|
| \( y \) | -1 | 5 |
Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их прямой, получим график исходной функции.
Чтобы построить график обратной функции, нужно найти её аналитический вид. Для этого меняем местами \( x \) и \( y \) в исходном уравнении \( y = 3x — 1 \) и решаем его относительно \( y \):
\( x = 3y — 1 \Rightarrow 3y = x + 1 \Rightarrow y = \frac{x + 1}{3} \).
Таким образом, обратная функция имеет вид \( y = \frac{x + 1}{3} \). Её график также является прямой, но с угловым коэффициентом \( \frac{1}{3} \), и он симметричен графику исходной функции относительно линии \( y = x \).
2) \( y = x^2 — 4, \quad x \geq 0 \)
Данное уравнение описывает параболу, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке \( (0; -4) \). Так как область определения ограничена условием \( x \geq 0 \), рассматривается только правая ветвь параболы.
Найдём несколько характерных точек для построения графика:
При \( x = 0 \): \( y = 0^2 — 4 = -4 \).
При \( x = 1 \): \( y = 1^2 — 4 = -3 \).
При \( x = 2 \): \( y = 2^2 — 4 = 0 \).
При \( x = 3 \): \( y = 3^2 — 4 = 5 \).
Таблица значений:
| \( x \) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| \( y \) | -3 | 0 | 5 |
Для нахождения обратной функции снова меняем местами \( x \) и \( y \):
\( x = y^2 — 4 \Rightarrow y^2 = x + 4 \Rightarrow y = \sqrt{x + 4} \), так как рассматриваем только положительные значения \( y \) из-за \( x \geq 0 \).
Обратная функция \( y = \sqrt{x + 4} \) описывает ветвь параболы, расположенной в первой четверти, и симметрична исходной функции относительно прямой \( y = x \).
\(
3)y =
\begin{cases}
\sqrt{x}, & x \geq 0, \\
\frac{x}{2}, & x < 0
\end{cases}
\)
Эта функция составная и состоит из двух частей. Для \( x \geq 0 \) функция имеет вид \( y = \sqrt{x} \), то есть является ветвью параболы, расположенной в первой четверти и начинающейся в начале координат. Для \( x < 0 \) функция имеет вид \( y = \frac{x}{2} \), то есть является прямой с угловым коэффициентом \( 0,5 \), проходящей через начало координат и лежащей в третьей и четвертой четвертях.
Характерные точки для ветви параболы (\( x \geq 0 \)):
\( x = 1 \Rightarrow y = 1 \),
\( x = 4 \Rightarrow y = 2 \),
\( x = 9 \Rightarrow y = 3 \).
| \( x \) | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|
| \( y \) | 1 | 2 | 3 |
Характерные точки для прямой (\( x < 0 \)):
\( x = -4 \Rightarrow y = -2 \),
\( x = 0 \Rightarrow y = 0 \).
| \( x \) | -4 | 0 |
|---|---|---|
| \( y \) | -2 | 0 |
Для нахождения обратной функции разбиваем решение на два случая:
Для \( y \geq 0 \) (ветвь параболы): \( y = \sqrt{x} \Rightarrow x = y^2 \).
Для \( y < 0 \) (прямая): \( y = \frac{x}{2} \Rightarrow x = 2y \).
Таким образом, обратная функция также является кусочной и строится симметрично исходной относительно линии \( y = x \).
