ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция, обратная к линейной функции y=kx+b при k ≠ 0, также является линейной.

Дана линейная функция: \( y = kx + b,\; k \neq 0 \)

1) Нахождение обратной функции
Запишем исходное уравнение в виде, где \( x \) выражен через \( y \):
\( x = ky + b \)
Теперь изолируем переменную \( y \). Вычитаем \( b \) из обеих частей уравнения:
\( x — b = ky \)
Делим обе части на \( k \), учитывая, что \( k \neq 0 \):
\( y = \frac{x — b}{k} \)
Таким образом, обратная функция имеет вид:
\( y = \frac{x — b}{k} \)

2) Свойства обратной функции
Исходная функция: \( y = kx + b \)
Обратная функция: \( y = \frac{1}{k}x — \frac{b}{k} \)
Коэффициент наклона обратной функции \( k’ = \frac{1}{k} \), при этом условие \( k \neq 0 \) обязательно выполняется.
Это доказывает, что обратная функция к линейной также является линейной, с коэффициентом наклона, равным обратному к исходному.

Дана линейная функция: \( y = kx + b,\; k \neq 0 \)

1) Подробный процесс нахождения обратной функции
Исходная функция задана формулой \( y = kx + b \), где \( k \) — угловой коэффициент (наклон прямой), а \( b \) — значение, которое функция принимает при \( x = 0 \) (ордината точки пересечения с осью \( Oy \)). Условие \( k \neq 0 \) означает, что прямая не является горизонтальной, то есть действительно имеет наклон и является взаимно-однозначной, что гарантирует существование обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить переменную \( x \) через переменную \( y \), а затем снова записать результат в стандартной функциональной форме, поменяв местами названия переменных.

Начнём с исходного уравнения:
\( y = kx + b \)

Первый шаг — изолируем слагаемое с \( x \). Для этого перенесём \( b \) в левую часть, вычитая его из обеих сторон уравнения:
\( y — b = kx \)

Второй шаг — выделим \( x \), разделив обе части уравнения на \( k \), при этом учитываем, что деление на ноль невозможно, но в условии задачи сказано, что \( k \neq 0 \):
\( x = \frac{y — b}{k} \)

На этом этапе мы получили зависимость \( x \) через \( y \). Теперь, чтобы записать обратную функцию в стандартной записи \( y = f^{-1}(x) \), нужно поменять местами \( x \) и \( y \):
\( y = \frac{x — b}{k} \)

Итог: обратная функция имеет вид \( y = \frac{x — b}{k} \).

2) Свойства и коэффициенты обратной функции
Изначально у нас есть прямая \( y = kx + b \). В этой записи:
— коэффициент \( k \) отвечает за наклон прямой;
— число \( b \) — это точка пересечения с осью \( Oy \).

У обратной функции вид следующий:
\( y = \frac{1}{k}x — \frac{b}{k} \)
Здесь коэффициент наклона \( k’ \) равен \( \frac{1}{k} \), а свободный член равен \( -\frac{b}{k} \).

Это означает, что:
— чем больше исходный наклон \( k \), тем меньше наклон обратной функции \( k’ \);
— если \( k > 1 \), то \( k’ < 1 \), и наоборот, если \( 0 < k < 1 \), то \( k’ > 1 \);
— при отрицательном \( k \) и у обратной функции наклон будет отрицательным;
— свободный член \( -\frac{b}{k} \) изменяет положение прямой относительно оси \( Oy \).

3) Геометрический смысл
График обратной функции получается из графика исходной функции симметрией относительно прямой \( y = x \). Это значит, что каждая точка \((x_0, y_0)\) на графике исходной функции соответствует точке \((y_0, x_0)\) на графике обратной функции. Линейная функция всегда отображается в линейную, и прямая остаётся прямой после нахождения обратной функции.

Таким образом, мы доказали, что:
— обратная функция к линейной (с \( k \neq 0 \)) всегда является линейной;
— её коэффициент наклона \( k’ \) равен \( \frac{1}{k} \);
— область определения и область значений меняются местами.