ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть дана нечётная функция f и обратная к ней функция g, тогда:

f(-x) = -f(x);

D(f) — симметричное множество;

E(f) — симметричное множество;

1) По определению обратной функции:

D(g) = E(f); f(x0) = yo,

g(yo) = x0;

g(f(xo)) = g(yo) = x0;

2) Значение обратной функции:

g(yo) = g(f(xo)) = g(f(-xo)) = -xo = -g(yo);

Функция g нечётная, что и требовалось доказать.

Пусть дана нечётная функция f и обратная к ней функция g, тогда:

Определение нечётной функции:

Функция называется нечётной, если выполняется условие: f(-x) = -f(x); , для всех значений x из области определения функции.

В данном случае функция f является нечётной, так как:

f(-x) = -f(x);

Это значит, что график функции является симметричным относительно начала координат.

Симметричные множества:

Обозначения, используемые для симметричных множеств:

D(f) — симметричное множество функции f;

E(f) — симметричное множество области значений функции f.

Симметричные множества означают, что для каждого элемента, если он принадлежит области определения функции, то его противоположный элемент также принадлежит области значений.

1) По определению обратной функции:

Рассмотрим определение обратной функции. Если функция f обратима, то её обратная функция g будет определяться следующим образом:

Если f(x₀) = y₀, то g(y₀) = x₀.

Также, для обратной функции выполняется следующее условие:

Если f(xo) = yo, то g(yo) = xo.

Тогда для обратной функции выполняется следующее:

D(g) = E(f);

Здесь мы видим, что область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, и наоборот.

2) Значение обратной функции:

Теперь докажем, что функция g будет нечётной. Для этого покажем, что для всех значений y₀ выполняется:

g(-yo) = -g(yo);

Из определения обратной функции имеем:

g(yo) = g(f(xo)) = -xo = -g(yo);

Таким образом, мы доказали, что функция g является нечётной, так как для любого значения y₀ выполняется g(-yo) = -g(yo).

Функция g нечётная:

В результате, мы доказали, что обратная функция g будет нечётной, если исходная функция f нечётная. Это доказательство основывается на симметрии функций относительно начала координат, а также на том, что операция нахождения обратной функции сохраняет нечётность при соблюдении условий.