Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если одной бригаде для этого требуется на 12 ч больше, чем другой?
Пусть x часов — время, за которое первая бригада может вспахать поле, работая самостоятельно, тогда:
(x + 12) ч — потребуется второй бригаде;
1 / x — производительность первой бригады;
1 / (x + 12) — производительность второй бригады;
1) Вместе обе бригады вспахали поле за 8 часов, значит:
8 / x + 8 / (x + 12) = 1;
Умножим обе части уравнения на x(x + 12), чтобы избавиться от дробей:
8(x + 12) + 8x = x(x + 12); 8x + 96 + 8x = x² + 12x; 16x + 96 = x² + 12x; x² - 4x - 96 = 0;
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = 4² - 4 * 1 * (-96) = 16 + 384 = 400, тогда: x₁ = (-4 - √400) / 2 = (-4 - 20) / 2 = -24 / 2 = -12; x₂ = (-4 + √400) / 2 = (-4 + 20) / 2 = 16 / 2 = 8.
2) Время не может быть отрицательным, значит:
x = 12 (ч).
Ответ: 12 часов; 24 часа.
Задача на время работы бригад
Пусть x ч — время, за которое первая бригада может вспахать поле, работая самостоятельно. Тогда:
- (x + 12) ч — время, необходимое второй бригаде для выполнения той же работы;
- 1 / x — производительность первой бригады;
- 1 / (x + 12) — производительность второй бригады.
1) Вместе обе бригады вспахали поле за 8 часов, значит:
Обозначим количество работы, выполненное первой и второй бригадой. Мы знаем, что работа, выполненная обеими бригадами, составляет 1 полное поле.
Для того чтобы выразить это уравнение, нам нужно учесть, что первая бригада выполняет работу за x часов, а вторая — за (x + 12) часов. Тогда их производительность будет выражаться как 1 / x и 1 / (x + 12) соответственно.
Уравнение для совместной работы обеих бригад будет выглядеть так:
8 / x + 8 / (x + 12) = 1;
Теперь избавимся от дробей, умножив обе стороны уравнения на x(x + 12):
(8 / x) * x(x + 12) + (8 / (x + 12)) * x(x + 12) = 1 * x(x + 12); 8(x + 12) + 8x = x(x + 12);
Теперь раскроем скобки и упростим выражение:
8x + 96 + 8x = x² + 12x; 16x + 96 = x² + 12x;
Переносим все элементы на одну сторону, чтобы привести уравнение к стандартному виду:
x² - 4x - 96 = 0;
Шаг 2: Решение квадратного уравнения:
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
D = b² - 4ac;
В нашем уравнении x² — 4x — 96 = 0, где a = 1, b = -4, c = -96. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:
D = (-4)² - 4 * 1 * (-96) = 16 + 384 = 400;
Теперь, когда у нас есть дискриминант, находим корни уравнения с помощью формулы:
x₁ = (-b - √D) / 2a; x₂ = (-b + √D) / 2a;
Подставляем значения для нахождения корней:
x₁ = (-(-4) - √400) / 2 = (4 - 20) / 2 = -16 / 2 = -8; x₂ = (-(-4) + √400) / 2 = (4 + 20) / 2 = 24 / 2 = 12;
Шаг 3: Отрицательные решения исключаем:
Так как время не может быть отрицательным, исключаем корень x₁ = -8 и оставляем x₂ = 12.
Таким образом, время, которое потребуется для того, чтобы обе бригады совместно вспахали поле, равно 12 часов.
2) Ответ:
Так как время не может быть отрицательным, выводим окончательный ответ: 12 часов; 24 часа.
Алгебра
