Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.15 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если одной бригаде для этого требуется на 12 ч больше, чем другой?
Пусть \( x \) часов — это время, за которое первая бригада может вспахать поле, работая одна.
Тогда время, за которое вторая бригада выполнит ту же работу самостоятельно, будет \( x + 12 \) часов, так как по условию она работает на 12 часов медленнее.
Скорость работы (производительность) первой бригады составляет:
\[
\frac{1}{x} \quad \text{(полей в час)}
\]
а скорость работы второй бригады:
\[
\frac{1}{x + 12} \quad \text{(полей в час)}
\]
1) Совместная работа бригад:
По условию, вместе обе бригады вспахали поле за 8 часов. Тогда количество работы, выполненной первой бригадой, равно:
\[
8 \cdot \frac{1}{x} = \frac{8}{x}
\]
а второй бригадой:
\[
8 \cdot \frac{1}{x + 12} = \frac{8}{x + 12}
\]
Сумма этих частей равна 1 (всё поле):
\[
\frac{8}{x} + \frac{8}{x + 12} = 1
\]
2) Решение уравнения:
Умножим обе части уравнения на \( x(x + 12) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\[
8(x + 12) + 8x = x(x + 12)
\]
Раскроем скобки:
\[
8x + 96 + 8x = x^2 + 12x
\]
\[
16x + 96 = x^2 + 12x
\]
Переносим все члены в одну сторону:
\[
x^2 — 4x — 96 = 0
\]
3) Решение квадратного уравнения:
Дискриминант:
\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400
\]
Корни:
\[
x_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{400}}{2} = \frac{4 — 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8
\]
\[
x_2 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]
Так как время не может быть отрицательным, отрицательный корень отбрасываем.
4) Вывод:
Время работы первой бригады — \( 12 \) часов, второй — \( 12 + 12 = 24 \) часа.
Окончательный ответ: \( 12 \) часов; \( 24 \) часа.
Пусть \( x \) часов — это время, за которое первая бригада может вспахать всё поле, работая самостоятельно.
По условию задачи, вторая бригада выполняет ту же работу на 12 часов медленнее, поэтому её время работы будет \( x + 12 \) часов.
Определим производительность каждой бригады:
Если первая бригада выполняет всю работу за \( x \) часов, то за 1 час она выполняет:
\[
\frac{1}{x} \ \text{(часть поля в час)}
\]
Если вторая бригада выполняет работу за \( x + 12 \) часов, то её производительность:
\[
\frac{1}{x + 12} \ \text{(часть поля в час)}
\]
1) Составление уравнения по условию совместной работы:
Известно, что обе бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 часов. За это время первая бригада успеет выполнить:
\[
\frac{8}{x} \ \text{(часть поля)}
\]
а вторая бригада —
\[
\frac{8}{x + 12} \ \text{(часть поля)}
\]
Так как вместе они выполняют всё поле (1 часть), получаем уравнение:
\[
\frac{8}{x} + \frac{8}{x + 12} = 1
\]
2) Приведение уравнения к целым числам:
Чтобы убрать знаменатели, умножим обе части уравнения на общий знаменатель \( x(x + 12) \):
\[
8(x + 12) + 8x = x(x + 12)
\]
Раскроем скобки в левой части:
\[
8x + 96 + 8x = x^2 + 12x
\]
Соберём подобные члены:
\[
16x + 96 = x^2 + 12x
\]
Переносим все члены в правую часть:
\[
0 = x^2 + 12x — 16x — 96
\]
\[
x^2 — 4x — 96 = 0
\]
3) Решение квадратного уравнения:
Вычислим дискриминант:
\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400
\]
Найдём корни:
\[
x_1 = \frac{4 — 20}{2} = \frac{-16}{2} = -8
\]
\[
x_2 = \frac{4 + 20}{2} = \frac{24}{2} = 12
\]
Отрицательное значение \( x = -8 \) часов отбрасываем, так как время не может быть отрицательным.
4) Интерпретация результата:
Таким образом, первая бригада, работая одна, может вспахать поле за \( 12 \) часов.
Вторая бригада работает на 12 часов дольше, следовательно, её время работы:
\[
x + 12 = 12 + 12 = 24 \ \text{часа}
\]
Итог:
— Первая бригада: \( 12 \) часов.
— Вторая бригада: \( 24 \) часа.
Окончательный ответ: \( 12 \) часов; \( 24 \) часа.
