ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) \( y = |x| \);

2) \( y = \frac{1}{x^4} \);

3) \( y = 5 \).

1) \( y = |x| \):
Пусть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \), тогда:
\( y = |{-3}| = 3 \) и \( y = |3| = 3 \).
Получаем, что одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \), значит, функция не является обратимой.

2) \( y = \frac{1}{x^4} \):
Пусть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \), тогда:
\( y = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1 \) и \( y = \frac{1}{1^4} = 1 \).
Одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \), следовательно, функция не является обратимой

3) \( y = 5 \),

Пусть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \), тогда \( y = 5 \);

То есть для одного значения \( y \) существует два значения \( x \);

Функция не является обратимой, что и требовалось доказать.

1) \( y = |x| \):
Чтобы функция была обратимой, каждому значению \( y \) должно соответствовать не более одного значения \( x \).
В случае с функцией \( y = |x| \) это условие нарушается, так как модуль числа всегда даёт положительный результат для чисел, отличных от нуля.
Пусть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \). Тогда:
\( y = |{-3}| = 3 \) и \( y = |3| = 3 \).
Мы видим, что одному значению \( y = 3 \) соответствуют два различных значения \( x \): \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \).
Следовательно, функция не является обратимой, так как не удовлетворяет условию взаимно-однозначного соответствия между \( x \) и \( y \).

2) \( y = \frac{1}{x^4} \):
Аналогично, для обратимости каждому значению \( y \) должно соответствовать не более одного значения \( x \).
Пусть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \). Тогда:
\( y = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1 \) и \( y = \frac{1}{1^4} = 1 \).
Таким образом, для одного значения \( y = 1 \) мы имеем два различных значения аргумента \( x \): \( -1 \) и \( 1 \).
Это означает, что функция не является обратимой, так как нарушается условие единственности прообраза.

3) \( y = 5 \):
Данная функция является константой, то есть при любом \( x \) значение функции всегда равно \( 5 \).
Например, пусть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Тогда:
\( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 5 \) при \( x = 2 \).
Мы видим, что одному значению \( y = 5 \) соответствуют бесконечно многие значения \( x \).
Следовательно, функция не является обратимой, так как абсолютно любому значению \( x \) соответствует одно и то же значение \( y \), а это полностью нарушает требование взаимно-однозначного соответствия.

Вывод:
Все рассмотренные функции не являются обратимыми, так как для каждого из них найдены примеры, в которых одному значению \( y \) соответствуют два или более значений \( x \).