Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.3 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что данная функция не является обратимой:
1) \( y = |x| \);
2) \( y = \frac{1}{x^4} \);
3) \( y = 5 \).
1) \( y = |x| \):
Пусть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \), тогда:
\( y = |{-3}| = 3 \) и \( y = |3| = 3 \).
Получаем, что одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \), значит, функция не является обратимой.
2) \( y = \frac{1}{x^4} \):
Пусть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \), тогда:
\( y = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1 \) и \( y = \frac{1}{1^4} = 1 \).
Одному значению \( y \) соответствуют два значения \( x \), следовательно, функция не является обратимой
3) \( y = 5 \),
Пусть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \), тогда \( y = 5 \);
То есть для одного значения \( y \) существует два значения \( x \);
Функция не является обратимой, что и требовалось доказать.
1) \( y = |x| \):
Чтобы функция была обратимой, каждому значению \( y \) должно соответствовать не более одного значения \( x \).
В случае с функцией \( y = |x| \) это условие нарушается, так как модуль числа всегда даёт положительный результат для чисел, отличных от нуля.
Пусть \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \). Тогда:
\( y = |{-3}| = 3 \) и \( y = |3| = 3 \).
Мы видим, что одному значению \( y = 3 \) соответствуют два различных значения \( x \): \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \).
Следовательно, функция не является обратимой, так как не удовлетворяет условию взаимно-однозначного соответствия между \( x \) и \( y \).
2) \( y = \frac{1}{x^4} \):
Аналогично, для обратимости каждому значению \( y \) должно соответствовать не более одного значения \( x \).
Пусть \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 1 \). Тогда:
\( y = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1 \) и \( y = \frac{1}{1^4} = 1 \).
Таким образом, для одного значения \( y = 1 \) мы имеем два различных значения аргумента \( x \): \( -1 \) и \( 1 \).
Это означает, что функция не является обратимой, так как нарушается условие единственности прообраза.
3) \( y = 5 \):
Данная функция является константой, то есть при любом \( x \) значение функции всегда равно \( 5 \).
Например, пусть \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Тогда:
\( y = 5 \) при \( x = 0 \) и \( y = 5 \) при \( x = 2 \).
Мы видим, что одному значению \( y = 5 \) соответствуют бесконечно многие значения \( x \).
Следовательно, функция не является обратимой, так как абсолютно любому значению \( x \) соответствует одно и то же значение \( y \), а это полностью нарушает требование взаимно-однозначного соответствия.
Вывод:
Все рассмотренные функции не являются обратимыми, так как для каждого из них найдены примеры, в которых одному значению \( y \) соответствуют два или более значений \( x \).
