ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 3.9 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Пользуясь графиком функции y=f(x), изображённым на рисунке 3.9, постройте график функции, обратной к функции f.

Пользуясь графиком функции y = f(x), изображённым на рисунке 3.9, постройте график функции, обратной к функции f(x):

Построим график обратной функции симметрично графику функции y = f(x) относительно прямой y = x:

Для построения графика функции, обратной к функции y = f(x), нужно использовать симметрию относительно прямой y = x. Это означает, что график обратной функции будет зеркальным отображением графика исходной функции по этой прямой.

Для этого выберите несколько точек на графике функции y = f(x) и для каждой точки поменяйте местами значения координат \(x\) и \(y\). Полученные точки будут лежать на графике обратной функции.

После того как мы построим такие точки, соедините их плавной кривой, чтобы получить график функции, обратной к функции f(x).

Значения, которые находятся выше прямой y = x для исходной функции, окажутся ниже этой прямой для обратной функции, и наоборот.

Пользуясь графиком функции y = f(x), изображённым на рисунке 3.9, постройте график функции, обратной к функции f(x):

Построим график обратной функции симметрично графику функции y = f(x) относительно прямой y = x:

Чтобы построить график функции, обратной к функции y = f(x), нужно использовать важное свойство: график обратной функции будет симметричен графику функции y = f(x) относительно прямой y = x. Это свойство следует из того, что при инверсии функции, значения x и y меняются местами.

Этапы построения графика обратной функции:

1. Шаг 1: Возьмите график функции y = f(x). Выберите несколько точек на этом графике с координатами (x₁, y₁), где x₁ и y₁ — значения на оси x и оси y соответственно.
2. Шаг 2: Для каждой выбранной точки на графике функции поменяйте местами координаты x₁ и y₁, т.е. новая точка будет иметь координаты (y₁, x₁). Это отражение по прямой y = x.
3. Шаг 3: Построив несколько таких точек, соедините их плавной кривой, чтобы получить график функции, обратной к функции y = f(x).

Таким образом, график функции, обратной к функции y = f(x), будет зеркальным отражением графика исходной функции относительно прямой y = x.

Почему отражение относительно прямой y = x важно?

Прямая y = x служит линией симметрии для графиков функции и её обратной функции. Когда функция y = f(x) имеет уникальное значение y для каждого x, её график будет симметричен графику обратной функции, и наоборот. В случае, если график функции пересекает прямую y = x в нескольких точках, это означает, что функция не является инъективной (однозначной), и её обратная функция может не существовать или будет определена не на всей области значений.

Построение графика обратной функции на примере:

Допустим, у нас есть график функции, который изображает одну из кривых на рисунке. Для её обратной функции мы проведём линию симметрии через прямую y = x, и после выполнения шагов, описанных выше, мы получим график обратной функции. Это также помогает визуализировать зависимость между функцией и её обратной функцией, где каждая точка на графике функции имеет соответствующую точку на графике её обратной функции.

Заключение:

Построение графика обратной функции с использованием симметрии относительно прямой y = x является простым и мощным инструментом в анализе функций. Он помогает быстро увидеть, как одна функция зависит от другой и как изменение одного параметра в функции влияет на другой в её обратной функции.