Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:
1) уравнение (|x|+3)f(x)=2|x|+6 заменить уравнением f(x)=2;
2) уравнение f(x)/(x^2+1)=0 заменить уравнением f(x)=0;
3) уравнение (x+1)f(x)=x+1 заменить уравнением f(x)=1;
4) уравнение f(x)/(x+1)=g(x)/(x+1) заменить уравнением f(x)=g(x);
5) уравнение f(x)=g(x) заменить уравнением (x+1)f(x)=(x+1)g(x)?
Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:
1) Уравнение (|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6 заменить на f(x) = 2:
(|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6, (|x| + 3) > 0;
f(x) = 2|x| + 6 / (|x| + 3) = 2;
Данные уравнения равносильны;
Ответ: не изменится.
2) Уравнение f(x) / (x² + 1) = 0 заменить на f(x) = 0:
f(x) / (x² + 1) = 0, (x² + 1) > 0;
f(x) = 0;
Данные уравнения равносильны;
Ответ: не изменится.
3) Уравнение (x + 1)f(x) = x + 1 заменить на f(x) = 1:
(x + 1)f(x) = x + 1, x = –1;
f(x) = 1;
Может быть утрачен корень уравнения: x = –1;
Ответ: сузится.
4) Уравнение f(x) / (x + 1) = g(x) / (x + 1) заменить на f(x) = g(x):
f(x) / (x + 1) = g(x) / (x + 1), x ≠ –1;
f(x) = g(x);
Может появиться новый корень уравнения: x = –1;
Ответ: расширится.
5) Уравнение f(x) = g(x) заменить на (x + 1)f(x) = (x + 1)g(x):
f(x) = g(x), x = –1;
f(x) = g(x);
Может появиться новый корень уравнения: x = –1;
Ответ: расширится.
Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:
1) Уравнение (|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6 заменить на f(x) = 2:
Рассмотрим исходное уравнение:
(|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6, (|x| + 3) > 0.
Для того чтобы решить это уравнение, разделим обе части на (|x| + 3) (при этом, по условию, x ≠ -3, так как |x| + 3 всегда больше нуля):
f(x) = (2|x| + 6) / (|x| + 3).
Приведём дробь к общему виду, но можно заметить, что это уравнение имеет несколько решений, зависящих от значений x.
Когда мы заменяем это уравнение на f(x) = 2, то фактически мы ищем решения этого упрощённого уравнения.
Решения исходного уравнения и упрощённого будут совпадать, так как у нас нет условий, которые могут сузить или расширить множество решений.
Ответ: не изменится.
2) Уравнение f(x) / (x² + 1) = 0 заменить на f(x) = 0:
Рассмотрим уравнение f(x) / (x² + 1) = 0. Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю, так как знаменатель (x² + 1) всегда больше нуля, поскольку x² + 1 ≥ 1 для любого x.
Таким образом, при f(x) = 0, у нас остаётся только одно условие: f(x) = 0.
Это уравнение будет эквивалентно, так как нет условий, которые могут ограничить решения.
Ответ: не изменится.
3) Уравнение (x + 1)f(x) = x + 1 заменить на f(x) = 1:
Исходное уравнение:
(x + 1)f(x) = x + 1.
Для x ≠ –1, мы можем разделить обе части на (x + 1), что даст:
f(x) = 1.
Это уравнение означает, что функция f(x) будет равна 1 для всех значений x, кроме x = –1, так как при x = –1 деление на ноль невозможно.
Таким образом, при замене на f(x) = 1 мы теряем корень x = –1, который был решением исходного уравнения. Таким образом, количество решений сокращается.
Ответ: сузится.
4) Уравнение f(x) / (x + 1) = g(x) / (x + 1) заменить на f(x) = g(x):
Исходное уравнение:
f(x) / (x + 1) = g(x) / (x + 1), при x ≠ –1.
Мы можем умножить обе части на (x + 1), при этом условие x ≠ –1 остаётся.
В результате получаем:
f(x) = g(x).
Это уравнение всегда имеет решения, которые соответствуют значениям функции f(x) и g(x), при которых они равны. Однако при x = –1, при котором знаменатель равен нулю, возникает ситуация, когда не существует решения, так как деление на ноль невозможно. Следовательно, если x = –1 является решением для обеих функций, то это может привести к появлению нового корня уравнения.
Ответ: расширится.
5) Уравнение f(x) = g(x) заменить на (x + 1)f(x) = (x + 1)g(x):
Исходное уравнение:
f(x) = g(x).
Здесь решения будут все значения x, при которых функции f(x) и g(x) равны.
Если мы умножим обе части на (x + 1), то получим:
(x + 1)f(x) = (x + 1)g(x).
Теперь множитель (x + 1) появляется с обеих сторон уравнения, и это не изменяет множества решений, за исключением возможного исключения x = –1, так как в этом случае выражение становится неопределённым. Таким образом, при x = –1 может появиться дополнительный корень уравнения, который не был бы возможен в исходном уравнении.
Ответ: расширится.
Алгебра
