ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) уравнение \( (|x| + 3) f(x) = 2|x| + 6 \) заменить уравнением \( f(x) = 2 \);

2) уравнение \( \frac{f(x)}{x^2 + 1} = 0 \) заменить уравнением \( f(x) = 0 \);

3) уравнение \( (x + 1) f(x) = x + 1 \) заменить уравнением \( f(x) = 1 \);

4) уравнение \( \frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1} \) заменить уравнением \( f(x) = g(x) \);

5) уравнение \( f(x) = g(x) \) заменить уравнением \( (x + 1) f(x) = (x + 1) g(x) \)?

Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) Уравнение \((|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6\) заменить на \(f(x) = 2\):
\((|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6,\ (|x| + 3) > 0;\)
\(f(x) = \frac{2|x| + 6}{|x| + 3} = \frac{2(|x| + 3)}{|x| + 3} = 2.\)
Данные уравнения равносильны.
Ответ: не изменится.

2) Уравнение \(\frac{f(x)}{x^{2} + 1} = 0\) заменить на \(f(x) = 0\):
\(\frac{f(x)}{x^{2} + 1} = 0,\ (x^{2} + 1) > 0;\)
\(f(x) = 0.\)
Данные уравнения равносильны.
Ответ: не изменится.

3) Уравнение \((x + 1)f(x) = x + 1\) заменить на \(f(x) = 1\):
\((x + 1)f(x) = x + 1.\) При \(x = -1\) имеем \(0 \cdot f(-1) = 0\) (истинно для любого \(f(-1)\)), то есть \(x = -1\) — корень исходного уравнения; для \(x \ne -1\) делим на \(x + 1\): \(f(x) = 1.\)
После замены на \(f(x) = 1\) точка \(x = -1\) остаётся корнем только при \(f(-1) = 1\); в общем случае теряется.
Ответ: сузится.

4) Уравнение \(\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}\) заменить на \(f(x) = g(x)\):
\(\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1},\ x \ne -1;\)
\(f(x) = g(x).\)
После замены допускается \(x = -1\). Если \(f(-1) = g(-1)\), появляется новый корень \(x = -1\).
Ответ: расширится.

5) Уравнение \(f(x) = g(x)\) заменить на \((x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)\):
Для \(x \ne -1\) множества решений совпадают; при \(x = -1\) получаем \(0 \cdot f(-1) = 0 \cdot g(-1)\) (тождество \(0 = 0\)) независимо от значений \(f(-1), g(-1)\), то есть добавляется корень \(x = -1\).
Ответ: расширится.

Как может измениться (расшириться или сузиться) множество корней данного уравнения, если:

1) Уравнение \((|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6\) заменить на \(f(x) = 2\):
Исходное уравнение имеет вид \((|x| + 3)f(x) = 2|x| + 6\). Так как \(|x| \ge 0\) для любых действительных \(x\), выражение \(|x| + 3\) всегда строго положительно, то есть \(|x| + 3 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\). Это означает, что область определения исходного уравнения — вся числовая прямая, и при переходе к новому уравнению никаких дополнительных ограничений на \(x\) не появится.
Делим обе части на \(|x| + 3\): \(f(x) = \frac{2|x| + 6}{|x| + 3} = \frac{2(|x| + 3)}{|x| + 3} = 2\). Таким образом, мы пришли ровно к уравнению \(f(x) = 2\), причём деление было допустимо для любого \(x\), так как знаменатель не обращается в ноль.
Это значит, что при замене исходного уравнения на \(f(x) = 2\) множество решений останется полностью тем же, что и было.
Ответ: не изменится.

2) Уравнение \(\frac{f(x)}{x^{2} + 1} = 0\) заменить на \(f(x) = 0\):
В исходном уравнении знаменатель \(x^{2} + 1\) для любого действительного \(x\) всегда больше или равен 1, то есть \(x^{2} + 1 > 0\). Это гарантирует, что деления на ноль не будет, и область определения — вся числовая прямая.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю: \(f(x) = 0\). Переход к новому уравнению \(f(x) = 0\) полностью сохраняет множество решений, потому что условие для равенства нулю идентично в обоих случаях, а область определения остаётся без изменений.
Следовательно, никакого расширения или сужения множества решений не произойдёт.
Ответ: не изменится.

3) Уравнение \((x + 1)f(x) = x + 1\) заменить на \(f(x) = 1\):
В исходном уравнении, если \(x \ne -1\), можно разделить обе части на \(x + 1\) и получить \(f(x) = 1\). Однако при \(x = -1\) левая часть равна \(0 \cdot f(-1)\), а правая — 0, что верно для любого значения \(f(-1)\). Это означает, что \(x = -1\) всегда является решением исходного уравнения независимо от вида функции \(f(x)\).
В новом уравнении \(f(x) = 1\) значение \(x = -1\) будет решением только тогда, когда \(f(-1) = 1\). В общем случае это условие может не выполняться, и тогда \(x = -1\) из множества решений исчезнет.
Следовательно, при замене теряется хотя бы один возможный корень, а множество решений сужается.
Ответ: сузится.

4) Уравнение \(\frac{f(x)}{x + 1} = \frac{g(x)}{x + 1}\) заменить на \(f(x) = g(x)\):
В исходном уравнении условие \(x \ne -1\) обязательно, так как при \(x = -1\) знаменатели обращаются в ноль и деление становится невозможным. Для всех остальных значений \(x\) уравнение тождественно сводится к \(f(x) = g(x)\).
При замене на уравнение \(f(x) = g(x)\) ограничение \(x \ne -1\) исчезает, и если окажется, что \(f(-1) = g(-1)\), то точка \(x = -1\) станет новым дополнительным корнем, которого не было в исходном уравнении.
Таким образом, множество решений может расшириться за счёт добавления этой точки.
Ответ: расширится.

5) Уравнение \(f(x) = g(x)\) заменить на \((x + 1)f(x) = (x + 1)g(x)\):
В исходном уравнении множество решений — это все значения \(x\), при которых \(f(x) = g(x)\). При умножении обеих частей на \(x + 1\) для всех \(x \ne -1\) решение останется тем же, что и было, так как умножение на ненулевой множитель не меняет равенство.
Однако при \(x = -1\) новое уравнение принимает вид \(0 \cdot f(-1) = 0 \cdot g(-1)\), что всегда верно (тождество \(0 = 0\)) независимо от значений \(f(-1)\) и \(g(-1)\). Это значит, что в новом уравнении точка \(x = -1\) автоматически становится решением, даже если в исходном уравнении оно не выполнялось.
Следовательно, множество решений расширяется за счёт добавления этого нового корня.
Ответ: расширится.