Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \((x — 5)^2 > 0\);
2) \((x — 5)^2 \geq 0\);
3) \((x — 5)^2 < 0\);
4) \((x — 5)^2 \leq 0\);
5) \((\frac{x — 5}{x + 5})^2 > 0\);
6) \((\frac{x — 5}{x + 5})^2 \geq 0\);
7) \(\frac{x + 5}{x + 5} > \frac{1}{2}\);
8) \(\frac{x^2 + 1}{x^2} \geq 0\);
9) \(\frac{x^2}{x^2 + 1} \geq 0\);
1) \((x — 5)^{2} > 0\);
\(x — 5 \ne 0\);
Ответ: \(x \in (-\infty;5) \cup (5;+\infty)\).
2) \((x — 5)^{2} \ge 0\);
Ответ: \(x \in (-\infty;+\infty)\).
3) \((x — 5)^{2} < 0\);
Ответ: \(x \in \emptyset\).
4) \((x — 5)^{2} \le 0\);
\(x — 5 = 0\);
\(x = 5\);
Ответ: \(x \in \{5\}\).
5) \(\frac{x — 5}{x + 5} > 0\);
\(x — 5 \ne 0\);
\(x \ne 5\);
Выражение имеет смысл при:
\(x + 5 \ne 0\);
\(x \ne -5\);
Ответ: \(x \in (-\infty;-5) \cup (-5;5) \cup (5;+\infty)\).
6) \(\frac{x — 5}{(x + 5)^{2}} \ge 0\);
\(x \in \mathbb{R}\);
Выражение имеет смысл при:
\(x + 5 \ne 0\);
\(x \ne -5\);
Ответ: \(x \in (-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\).
7) \(\frac{x + 5}{x + 5} > \frac{1}{2}\);
\(1 > \frac{1}{2}\);
\(x \in \mathbb{R}\);
Выражение имеет смысл при:
\(x + 5 \ne 0\);
\(x \ne -5\);
Ответ: \(x \in (-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\).
8) \(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \ge 0\);
\((x^{2} + 1) \ge 0,\ x^{2} \ge 0\);
\(x \in \mathbb{R}\);
Выражение имеет смысл при:
\(x^{2} \ne 0\);
\(x \ne 0\);
Ответ: \(x \in (-\infty;0) \cup (0;+\infty)\).
9) \(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \ge 0\);
\(x^{2} \ge 0,\ (x^{2} + 1) \ge 0\);
\(x \in \mathbb{R}\);
Выражение имеет смысл при:
\(x^{2} \ne -1\);
\(x \in \mathbb{R}\);
Ответ: \(x \in (-\infty;+\infty)\).
1) \((x — 5)^{2} > 0\)
Так как квадрат числа всегда неотрицателен, \((x — 5)^{2} > 0\) означает, что выражение не равно нулю.
Условие: \(x — 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\).
Таким образом, неравенство выполняется для всех \(x\), кроме точки \(x = 5\).
Ответ: \(x \in (-\infty;5) \cup (5;+\infty)\).
2) \((x — 5)^{2} \ge 0\)
Квадрат любого числа всегда \(\ge 0\) для любых \(x\).
Неравенство выполняется для всех действительных \(x\).
Ответ: \(x \in (-\infty;+\infty)\).
3) \((x — 5)^{2} < 0\)
Квадрат действительного числа не может быть меньше нуля, решений нет.
Ответ: \(x \in \emptyset\).
4) \((x — 5)^{2} \le 0\)
Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю: \(x — 5 = 0 \Rightarrow x = 5\).
Ответ: \(x \in \{5\}\).
5) \(\frac{x — 5}{x + 5} > 0\)
Ограничения: \(x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5\), \(x — 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne 5\).
Знак дроби положителен, когда числитель и знаменатель имеют одинаковый знак.
1) \(x — 5 > 0\) и \(x + 5 > 0 \Rightarrow x > 5\);
2) \(x — 5 < 0\) и \(x + 5 < 0 \Rightarrow x < -5\).
Ответ: \(x \in (-\infty;-5) \cup (5;+\infty)\).
6) \(\frac{x — 5}{(x + 5)^{2}} \ge 0\)
Ограничение: \(x + 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne -5\).
Знаменатель всегда положителен, поэтому знак дроби определяется числителем \(x — 5\).
Условие: \(x — 5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5\).
Ответ: \(x \in [5;+\infty)\).
7) \(\frac{x + 5}{x + 5} > \frac{1}{2}\)
При \(x \ne -5\) дробь \(\frac{x+5}{x+5} = 1\).
Сравниваем: \(1 > \frac{1}{2}\) — верно для всех \(x \ne -5\).
Ответ: \(x \in (-\infty;-5) \cup (-5;+\infty)\).
8) \(x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \ge 0\)
Ограничение: \(x^{2} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0\).
Сумма \(x^{2} \ge 0\) и \(\frac{1}{x^{2}} > 0\) всегда положительна, значит, неравенство выполняется для всех \(x \ne 0\).
Ответ: \(x \in (-\infty;0) \cup (0;+\infty)\).
9) \(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} \ge 0\)
Знаменатель \(x^{2} + 1 > 0\) всегда, область определения — вся \(\mathbb{R}\).
Числитель \(x^{2} \ge 0\), поэтому дробь \(\ge 0\) для любых \(x\).
Ответ: \(x \in (-\infty;+\infty)\).
