Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Разложите на множители квадратный трёхчлен:
1) \( x^2 + x — 6 \);
2) \( 35 — 2x — x^2 \);
3) \( 2x^2 + 9x — 18 \).
1) \(x^{2} + x — 6 = (x + 3)(x — 2)\)
Решим уравнение:
\(x^{2} + x — 6 = 0\);
\(D = 1^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25\), тогда:
\(x_{1} = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = -3\) и \(x_{2} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = 2\);
Ответ: \((x + 3)(x — 2)\).
2) \(35 — 2x — x^{2} = -(x + 7)(x — 5) = (x + 7)(5 — x)\)
Решим уравнение:
\(35 — 2x — x^{2} = 0\);
\(D = 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 35 = 4 + 140 = 144\), тогда:
\(x_{1} = \frac{-2 — \sqrt{144}}{2 \cdot (-1)} = \frac{10}{2} = 5\);
\(x_{2} = \frac{-2 + \sqrt{144}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-14}{2} = -7\);
Ответ: \((x + 7)(5 — x)\).
3) \(2x^{2} + 9x — 18 = 2(x + 6)\left(x — \frac{3}{2}\right) = (x + 6)(2x — 3)\)
Решим уравнение:
\(2x^{2} + 9x — 18 = 0\);
\(D = 9^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 18 = 81 + 144 = 225\), тогда:
\(x_{1} = \frac{-9 — \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-15}{2} = -7.5\);
\(x_{2} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{15}{2} = 7.5\);
Ответ: \((x + 6)(2x — 3)\).
1) \(x^{2} + x — 6 = (x + 3)(x — 2)\)
Для того чтобы разложить данный квадратный трёхчлен на множители, сначала решим соответствующее квадратное уравнение:
\(x^{2} + x — 6 = 0\).
Пользуемся формулой дискриминанта: \(D = b^{2} — 4ac\), где \(a = 1,\ b = 1,\ c = -6\).
Подставляем данные значения: \(D = 1^{2} — 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25\).
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня, которые находим по формулам:
\(x_{1} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 — 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\),
\(x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
Мы получили два корня: \(x_{1} = -3\) и \(x_{2} = 2\). Следовательно, квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители как \((x — x_{1})(x — x_{2})\), что даёт \((x + 3)(x — 2)\).
Ответ: \((x + 3)(x — 2)\).
2) \(35 — 2x — x^{2} = -(x + 7)(x — 5) = (x + 7)(5 — x)\)
Рассмотрим исходное выражение и приведём его к стандартному виду квадратного уравнения:
\(35 — 2x — x^{2} = 0\), или, переставив слагаемые: \(-x^{2} — 2x + 35 = 0\).
Определяем коэффициенты: \(a = -1,\ b = -2,\ c = 35\).
Вычисляем дискриминант: \(D = b^{2} — 4ac = (-2)^{2} — 4(-1)(35) = 4 + 140 = 144\).
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:
\(x_{1} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) — \sqrt{144}}{2(-1)} = \frac{2 — 12}{-2} = \frac{-10}{-2} = 5\),
\(x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2(-1)} = \frac{2 + 12}{-2} = \frac{14}{-2} = -7\).
Корни: \(x_{1} = 5,\ x_{2} = -7\). Разложение по формуле \((x — x_{1})(x — x_{2})\) даёт \((x — 5)(x + 7)\).
Так как в исходной записи старший коэффициент отрицателен, вынесем минус: \(-(x + 7)(x — 5)\), что можно записать и как \((x + 7)(5 — x)\).
Ответ: \((x + 7)(5 — x)\).
3) \(2x^{2} + 9x — 18 = 2(x + 6)\left(x — \frac{3}{2}\right) = (x + 6)(2x — 3)\)
Сначала решаем уравнение \(2x^{2} + 9x — 18 = 0\).
Определяем коэффициенты: \(a = 2,\ b = 9,\ c = -18\).
Находим дискриминант: \(D = b^{2} — 4ac = 9^{2} — 4(2)(-18) = 81 + 144 = 225\).
Так как \(D > 0\), находим два корня:
\(x_{1} = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 — \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 — 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6\),
\(x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-9 + 15}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).
Корни: \(x_{1} = -6,\ x_{2} = \frac{3}{2}\). Разложим трёхчлен на множители по формуле \((x — x_{1})(x — x_{2})\), получаем \((x + 6)\left(x — \frac{3}{2}\right)\).
Чтобы избавиться от дроби, умножим второй множитель на 2, а первый разделим на 2, получаем \((x + 6)(2x — 3)\).
Ответ: \((x + 6)(2x — 3)\).
