Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:
1) в уравнении 3(2x-1)-5(4x+2)=1 раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2) в уравнении x^2+1/(x-7)-1/(x-7)=49 разность 1/(x-7)-1/(x-7) заменить нулём;
3) в уравнении (x^2-1)/(x-1)+3x-5=0 сократить дробь;
4) обе части уравнения x^3=x разделить на х;
5) обе части уравнения (x+1)(x^2+4)=x^2+4 разделить на x^2+4;
б) обе части уравнения x^2/x=2 умножить на x;
7) обе части уравнения 2x+1=5 умножить на x+1?
Будет ли равносильным данному уравнение, полученное в результате указанного преобразования:
1) Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
3(2x – 1) – 5(4x + 2) = 1;
6x – 3 – 20x – 10 = 1;
–14x – 13 = 1;
–14x = 14;
x = –1;
Данные действия являются шагами в решении уравнения;
Ответ: будет.
2) Разность 1/(x – 7) – 1/(x – 7) заменить нулем:
x2 + 1/(x – 7) – 1/(x – 7) = 49, x ≠ 7;
x2 + 0 = 49;
x2 = 49;
x = ±7;
Появился новый корень уравнения: x = 7;
Ответ: не будет.
3) Сократить дробь:
(x2 – 1)/(x – 1) + 3x – 5 = 0, x ≠ 1;
[(x + 1)(x – 1)]/(x – 1) + 3x – 5 = 0;
x + 1 + 3x – 5 = 0;
4x – 4 = 0;
x = 1;
Появился новый корень уравнения: x = 1;
Ответ: не будет.
4) Обе части уравнения разделить на x:
x3 = x, x = 0;
x2 = 1;
x = ±√1 = ±1;
Был утерян корень уравнения: x = 0;
Ответ: не будет.
5) Обе части уравнения разделить на (x2 + 4):
(x + 1)(x2 + 4) = x2 + 4, (x2 + 4) > 0;
x ≠ ±2i;
x = 0;
Данное действие является шагом в решении уравнения;
Ответ: будет.
6) Обе части уравнения умножить на x:
x2/x = 2, x ≠ 0;
x2 = 2x;
x2 – 2x = 0;
x(x – 2) = 0;
x1 = 0 и x2 = 2;
Появился новый корень уравнения: x = 0;
Ответ: не будет.
7) Обе части уравнения умножить на (x + 1):
2x + 1 = 5;
(2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1);
(2x + 1 – 5)(x + 1) = 0;
(2x – 4)(x + 1) = 0;
x = 2 или x = –1;
Появился новый корень уравнения: x = –1;
Ответ: не будет.
Будет ли равносильным данному уравнение, полученное в результате указанного преобразования:
1) Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
Исходное уравнение: 3(2x – 1) – 5(4x + 2) = 1
Сначала раскрываем скобки:
3 × 2x = 6x; 3 × (–1) = –3;
5 × 4x = 20x; 5 × 2 = 10; знак минус перед скобкой меняет знаки на противоположные:
–5(4x + 2) = –20x – 10;
Получаем: 6x – 3 – 20x – 10 = 1
Приводим подобные слагаемые:
6x – 20x = –14x; –3 – 10 = –13; получаем: –14x – 13 = 1
Переносим –13 в правую часть:
–14x = 1 + 13;
–14x = 14;
x = 14 / (–14);
x = –1
Все преобразования допустимы, решения не изменились. Эти действия — стандартные шаги решения уравнения.
Ответ: будет.
2) Разность 1⁄x – 7 – 1⁄x – 7 заменить нулем:
Уравнение: x2 + 1⁄x – 7 – 1⁄x – 7 = 49, x ≠ 7
Разность равна нулю, можно заменить: x2 + 0 = 49
x2 = 49
x = 7 или x = –7
Но в исходном уравнении x ≠ 7, поскольку иначе знаменатель обращается в ноль. После подстановки x = 7 получаем знаменатель равный нулю — такой корень запрещён исходным ОДЗ, а в новом уравнении он появился.
Появился новый корень x = 7, который не является решением исходного уравнения.
Ответ: не будет.
3) Сократить дробь:
(x2 – 1) / (x – 1) + 3x – 5 = 0, x ≠ 1
В числителе: x2 – 1 = (x + 1)(x – 1), поэтому дробь сокращается (для x ≠ 1):
[(x + 1)(x – 1)] / (x – 1) = x + 1
Имеем: x + 1 + 3x – 5 = 0
Приведём подобные: x + 3x = 4x; 1 – 5 = –4; получаем 4x – 4 = 0
4x = 4; x = 1
В результате сокращения дроби корень x = 1 появляется как решение нового уравнения, но при x = 1 исходная дробь была неопределена.
Появился новый корень x = 1, который не был решением исходного уравнения.
Ответ: не будет.
4) Обе части уравнения разделить на x:
Исходное уравнение: x3 = x
Разделим обе части на x (x ≠ 0): x3/x = x/x
Получаем: x2 = 1
x = 1 или x = –1
Но если x = 0, в исходном уравнении x3 = 0, x = 0, значит x = 0 — тоже корень. А после деления на x этот корень утерян.
Был утерян корень x = 0.
Ответ: не будет.
5) Обе части уравнения разделить на (x2 + 4):
Исходное: (x + 1)(x2 + 4) = x2 + 4, x2 + 4 > 0 (всегда, для любого x)
Делим обе части на (x2 + 4), не нарушая ОДЗ:
x + 1 = 1
x = 0
ОДЗ не изменилось, корни не потерялись и не добавились.
Это стандартное преобразование, решение осталось тем же.
Ответ: будет.
6) Обе части уравнения умножить на x:
x2/x = 2, x ≠ 0
x2 = 2x
x2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 или x = 2
НО в преобразованном уравнении x = 0 является решением, а в исходном x ≠ 0 (деление на x запрещено при x = 0)
Появился новый корень x = 0
Ответ: не будет.
7) Обе части уравнения умножить на (x + 1):
2x + 1 = 5
(2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1)
Переносим в одну часть: (2x + 1 – 5)(x + 1) = 0
(2x – 4)(x + 1) = 0
2x – 4 = 0, x + 1 = 0
x = 2, x = –1
В преобразованном уравнении появился корень x = –1, который не является решением исходного (при x = –1 исходное уравнение не выполняется, хотя формально x = –1 обращает множитель в ноль)
Появился новый корень x = –1
Ответ: не будет.
Алгебра
