Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.4 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Будет ли уравнение, полученное в результате указанного преобразования, равносильным данному:
1) в уравнении \( 3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1 \) раскрыть скобки и привести подобные слагаемые;
2) в уравнении \( x^2 + \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7} = 49 \) разность \( \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7} \) заменить нулём;
3) в уравнении \( \frac{x^2 — 1}{x — 1} + 3x — 5 = 0 \) сократить дробь;
4) обе части уравнения \( x^3 = x \) разделить на \( x \);
5) обе части уравнения \( (x + 1)(x^2 + 4) = x^2 + 4 \) разделить на \( x^2 + 4 \);
6) обе части уравнения \( \frac{x^2}{x} = 2 \) умножить на \( x \);
7) обе части уравнения \( 2x + 1 = 5 \) умножить на \( x + 1 \)?
1) Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
\(3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1;\)
\(6x — 3 — 20x — 10 = 1;\)
\(-14x — 13 = 1;\)
\(-14x = 14;\)
\(x = -1;\)
Данные действия являются шагами в решении уравнения;
Ответ: будет.
2) Разность \( \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7} \) заменить нулем:
\(x^{2} + \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7} = 49,\ x \ne 7;\)
\(x^{2} + 0 = 49;\)
\(x^{2} = 49;\)
\(x = \pm 7;\)
Появился новый корень уравнения: \(x = 7;\)
Ответ: не будет.
3) Сократить дробь:
\(\frac{x^{2} — 1}{x — 1} + 3x — 5 = 0,\ x \ne 1;\)
\(\frac{(x + 1)(x — 1)}{x — 1} + 3x — 5 = 0;\)
\(x + 1 + 3x — 5 = 0;\)
\(4x — 4 = 0;\)
\(x = 1;\)
Появился новый корень уравнения: \(x = 1;\)
Ответ: не будет.
4) Обе части уравнения разделить на \(x\):
\(x^{3} = x,\ x = 0;\)
\(x^{2} = 1;\)
\(x = \pm \sqrt{1} = \pm 1;\)
Был утерян корень уравнения: \(x = 0;\)
Ответ: не будет.
5) Обе части уравнения разделить на \((x^{2} + 4)\):
\((x + 1)(x^{2} + 4) = x^{2} + 4,\ (x^{2} + 4) > 0;\)
\(x + 1 = 1\)
\(x = 0;\)
Данное действие является шагом в решении уравнения;
Ответ: будет.
6) Обе части уравнения умножить на \(x\):
\(\frac{x^{2}}{x} = 2,\ x \ne 0;\)
\(x^{2} = 2x;\)
\(x^{2} — 2x = 0;\)
\(x(x — 2) = 0;\)
\(x_{1} = 0\) и \(x_{2} = 2;\)
Появился новый корень уравнения: \(x = 0;\)
Ответ: не будет.
7) Обе части уравнения умножить на \((x + 1)\):
\(2x + 1 = 5;\)
\((2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1);\)
\((2x + 1 — 5)(x + 1) = 0;\)
\((2x — 4)(x + 1) = 0;\)
\(x = 2\) или \(x = -1;\)
Появился новый корень уравнения: \(x = -1;\)
Ответ: не будет.
1) Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые:
Исходное уравнение: \(3(2x — 1) — 5(4x + 2) = 1\)
Сначала раскрываем скобки:
\(3 \times 2x = 6x;\quad 3 \times (-1) = -3;\)
\(5 \times 4x = 20x;\quad 5 \times 2 = 10;\) знак минус перед скобкой меняет знаки: \(-5(4x + 2) = -20x — 10;\)
Получаем: \(6x — 3 — 20x — 10 = 1\)
Приводим подобные: \(6x — 20x = -14x;\quad -3 — 10 = -13;\) имеем: \(-14x — 13 = 1\)
Переносим: \(-14x = 1 + 13;\quad -14x = 14;\quad x = \frac{14}{-14} = -1\)
Все преобразования допустимы, решения не изменились.
Ответ: будет.
2) Разность \(\frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7}\) заменить нулем:
Уравнение: \(x^{2} + \frac{1}{x — 7} — \frac{1}{x — 7} = 49,\ x \ne 7\)
Разность равна нулю: \(x^{2} + 0 = 49\)
\(x^{2} = 49\)
\(x = 7\) или \(x = -7\)
В исходном уравнении \(x \ne 7\), но этот корень появился в новом уравнении.
Ответ: не будет.
3) Сократить дробь:
\(\frac{x^{2} — 1}{x — 1} + 3x — 5 = 0,\ x \ne 1\)
\(x^{2} — 1 = (x + 1)(x — 1)\), сокращаем: \(\frac{(x + 1)(x — 1)}{x — 1} = x + 1\)
Получаем: \(x + 1 + 3x — 5 = 0\)
\(4x — 4 = 0\)
\(x = 1\)
Корень \(x = 1\) появился, но был запрещён ОДЗ.
Ответ: не будет.
4) Обе части уравнения разделить на \(x\):
\(x^{3} = x\)
Делим на \(x\) (\(x \ne 0\)): \(x^{2} = 1\)
\(x = 1\) или \(x = -1\)
Корень \(x = 0\) потерян.
Ответ: не будет.
5) Обе части уравнения разделить на \((x^{2} + 4)\):
\((x + 1)(x^{2} + 4) = x^{2} + 4,\ (x^{2} + 4) > 0\)
Делим: \(x + 1 = 1\)
\(x = 0\)
ОДЗ не изменилось, корни те же.
Ответ: будет.
6) Обе части уравнения умножить на \(x\):
\(\frac{x^{2}}{x} = 2,\ x \ne 0\)
\(x^{2} = 2x\)
\(x^{2} — 2x = 0\)
\(x(x — 2) = 0\)
\(x = 0\) или \(x = 2\)
Корень \(x = 0\) появился, но в исходном уравнении он был запрещён.
Ответ: не будет.
7) Обе части уравнения умножить на \((x + 1)\):
\(2x + 1 = 5\)
\((2x + 1)(x + 1) = 5(x + 1)\)
\((2x — 4)(x + 1) = 0\)
\(x = 2\) или \(x = -1\)
Корень \(x = -1\) появился, но не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: не будет.
