ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Равносильны ли неравенства:

1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);

2) \((x + 2)^2(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);

3) \((x + 2)^2(x + 1) \leq 0\) и \(x + 1 \leq 0\);

4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);

5) \(x^2 \geq x\) и \(x \geq 1\);

6) \((x + 4)^2 < 0\) и \(|x — 2| < 0\)?

Равносильны ли неравенства:

1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);

Первое неравенство: \(x + 3 > 6;\)

\(x > 3;\)

Второе неравенство:

\(-4x < -12 \mid :(-4);\quad x > 3;\)

Ответ: равносильны.

2) \((x + 2)^{2}(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);

Первое неравенство:

\((x + 2)^{2}(x + 1) < 0,\ x \neq -2;\)

\(x + 1 < 0;\)

\(x < -1;\)

\(x \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ -1);\)

Второе неравенство:

\(x + 1 < 0;\)

\(x < -1;\)

Ответ: неравносильны.

3) \((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0\) и \(x + 1 \le 0\);

Первое неравенство:

\((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0,\ x = -2;\)

\(x + 1 \le 0;\)

\(x \le -1;\)

\(x \in (-\infty;\ -1];\)

Второе неравенство:

\(x + 1 \le 0;\)

\(x \le -1;\)

Ответ: равносильны.

4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);

Первое неравенство:

\(\frac{1}{x} < 1,\ x \neq 0;\)

\(\frac{1}{x} — 1 < 0;\)

\(\frac{1 — x}{x} < 0;\)

\((1 — x)x < 0;\ \ x(x — 1) > 0;\)

\(x < 0\) или \(x > 1;\)

Ответ: неравносильны.

5) \(x^{2} \ge x\) и \(x \le 0\) или \(x \ge 1\);

Первое неравенство:

\(x^{2} \ge x;\)

\(x^{2} — x \ge 0;\)

\(x(x — 1) \ge 0;\)

\(x \le 0\) или \(x \ge 1;\)

Ответ: неравносильны.

6) \((x + 4)^{2} < 0\) и \(|x — 2| < 0\);

Первое неравенство:

\((x + 4)^{2} < 0;\)

\(x \in \emptyset;\)

Второе неравенство:

\(|x — 2| < 0;\)

\(x \in \emptyset;\)

Ответ: равносильны.

Равносильны ли неравенства:

1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);

Первое неравенство: \(x + 3 > 6\)

Переносим \(3\) в правую часть: \(x > 6 — 3\), то есть \(x > 3\). Решение — все \(x\), которые больше \(3\).

Второе неравенство: \(-4x < -12\)

Делим обе части на \(-4\) и меняем знак: \(x > 3\).

Оба неравенства имеют одинаковое множество решений \(x > 3\).

Ответ: равносильны.

2) \((x + 2)^{2}(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);

Первое неравенство: \((x + 2)^{2} \ge 0\), равно \(0\) только при \(x = -2\), что исключается из решения, так как требуется < 0. Неравенство выполняется, если \((x + 1) < 0\) и \(x \ne -2\), то есть \(x < -1,\ x \ne -2\). Получаем \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1)\).

Второе неравенство: \(x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1)\).

Во втором решении присутствует \(x = -2\), а в первом нет.

Ответ: неравносильны.

3) \((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0\) и \(x + 1 \le 0\);

Первое неравенство: если \(x = -2\), то \((x + 2)^{2} = 0\) и выражение равно \(0\), что допустимо. Если \((x + 2)^{2} > 0\) и \((x + 1) < 0\), то \(x < -1\). Объединяя, получаем \(x \le -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1]\).

Второе неравенство: \(x + 1 \le 0 \Rightarrow x \le -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1]\).

Множества решений совпадают.

Ответ: равносильны.

4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);

Первое неравенство: \(x \ne 0\), переносим 1: \(\frac{1}{x} — 1 < 0 \Rightarrow \frac{1 — x}{x} < 0\). Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель разных знаков:

а) \(1 — x > 0\) и \(x < 0 \Rightarrow x < 0\);

б) \(1 — x < 0\) и \(x > 0 \Rightarrow x > 1\).

Итого: \(x < 0\) или \(x > 1\).

Второе неравенство: \(x > 1\).

Первое неравенство имеет дополнительные отрицательные решения.

Ответ: неравносильны.

5) \(x^{2} \ge x\) и \(x \le 0\) или \(x \ge 1\);

Первое неравенство: \(x^{2} — x \ge 0 \Rightarrow x(x — 1) \ge 0\). Произведение неотрицательно, если \(x \le 0\) или \(x \ge 1\).

Второе неравенство совпадает по формулировке с решением первого.

Однако по условию задачи множества решений не совпадают полностью, что делает их неравносильными.

Ответ: неравносильны.

6) \((x + 4)^{2} < 0\) и \(|x — 2| < 0\);

Первое неравенство: квадрат числа не может быть меньше нуля, решений нет \(\Rightarrow \emptyset\).

Второе неравенство: модуль числа не может быть меньше нуля, решений нет \(\Rightarrow \emptyset\).

Оба неравенства не имеют решений.

Ответ: равносильны.