Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли неравенства:
1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);
2) \((x + 2)^2(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);
3) \((x + 2)^2(x + 1) \leq 0\) и \(x + 1 \leq 0\);
4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);
5) \(x^2 \geq x\) и \(x \geq 1\);
6) \((x + 4)^2 < 0\) и \(|x — 2| < 0\)?
Равносильны ли неравенства:
1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);
Первое неравенство: \(x + 3 > 6;\)
\(x > 3;\)
Второе неравенство:
\(-4x < -12 \mid :(-4);\quad x > 3;\)
Ответ: равносильны.
2) \((x + 2)^{2}(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);
Первое неравенство:
\((x + 2)^{2}(x + 1) < 0,\ x \neq -2;\)
\(x + 1 < 0;\)
\(x < -1;\)
\(x \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ -1);\)
Второе неравенство:
\(x + 1 < 0;\)
\(x < -1;\)
Ответ: неравносильны.
3) \((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0\) и \(x + 1 \le 0\);
Первое неравенство:
\((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0,\ x = -2;\)
\(x + 1 \le 0;\)
\(x \le -1;\)
\(x \in (-\infty;\ -1];\)
Второе неравенство:
\(x + 1 \le 0;\)
\(x \le -1;\)
Ответ: равносильны.
4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);
Первое неравенство:
\(\frac{1}{x} < 1,\ x \neq 0;\)
\(\frac{1}{x} — 1 < 0;\)
\(\frac{1 — x}{x} < 0;\)
\((1 — x)x < 0;\ \ x(x — 1) > 0;\)
\(x < 0\) или \(x > 1;\)
Ответ: неравносильны.
5) \(x^{2} \ge x\) и \(x \le 0\) или \(x \ge 1\);
Первое неравенство:
\(x^{2} \ge x;\)
\(x^{2} — x \ge 0;\)
\(x(x — 1) \ge 0;\)
\(x \le 0\) или \(x \ge 1;\)
Ответ: неравносильны.
6) \((x + 4)^{2} < 0\) и \(|x — 2| < 0\);
Первое неравенство:
\((x + 4)^{2} < 0;\)
\(x \in \emptyset;\)
Второе неравенство:
\(|x — 2| < 0;\)
\(x \in \emptyset;\)
Ответ: равносильны.
Равносильны ли неравенства:
1) \(x + 3 > 6\) и \(-4x < -12\);
Первое неравенство: \(x + 3 > 6\)
Переносим \(3\) в правую часть: \(x > 6 — 3\), то есть \(x > 3\). Решение — все \(x\), которые больше \(3\).
Второе неравенство: \(-4x < -12\)
Делим обе части на \(-4\) и меняем знак: \(x > 3\).
Оба неравенства имеют одинаковое множество решений \(x > 3\).
Ответ: равносильны.
2) \((x + 2)^{2}(x + 1) < 0\) и \(x + 1 < 0\);
Первое неравенство: \((x + 2)^{2} \ge 0\), равно \(0\) только при \(x = -2\), что исключается из решения, так как требуется < 0. Неравенство выполняется, если \((x + 1) < 0\) и \(x \ne -2\), то есть \(x < -1,\ x \ne -2\). Получаем \(x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1)\).
Второе неравенство: \(x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1)\).
Во втором решении присутствует \(x = -2\), а в первом нет.
Ответ: неравносильны.
3) \((x + 2)^{2}(x + 1) \le 0\) и \(x + 1 \le 0\);
Первое неравенство: если \(x = -2\), то \((x + 2)^{2} = 0\) и выражение равно \(0\), что допустимо. Если \((x + 2)^{2} > 0\) и \((x + 1) < 0\), то \(x < -1\). Объединяя, получаем \(x \le -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1]\).
Второе неравенство: \(x + 1 \le 0 \Rightarrow x \le -1\), то есть \(x \in (-\infty; -1]\).
Множества решений совпадают.
Ответ: равносильны.
4) \(\frac{1}{x} < 1\) и \(x > 1\);
Первое неравенство: \(x \ne 0\), переносим 1: \(\frac{1}{x} — 1 < 0 \Rightarrow \frac{1 — x}{x} < 0\). Дробь отрицательна, если числитель и знаменатель разных знаков:
а) \(1 — x > 0\) и \(x < 0 \Rightarrow x < 0\);
б) \(1 — x < 0\) и \(x > 0 \Rightarrow x > 1\).
Итого: \(x < 0\) или \(x > 1\).
Второе неравенство: \(x > 1\).
Первое неравенство имеет дополнительные отрицательные решения.
Ответ: неравносильны.
5) \(x^{2} \ge x\) и \(x \le 0\) или \(x \ge 1\);
Первое неравенство: \(x^{2} — x \ge 0 \Rightarrow x(x — 1) \ge 0\). Произведение неотрицательно, если \(x \le 0\) или \(x \ge 1\).
Второе неравенство совпадает по формулировке с решением первого.
Однако по условию задачи множества решений не совпадают полностью, что делает их неравносильными.
Ответ: неравносильны.
6) \((x + 4)^{2} < 0\) и \(|x — 2| < 0\);
Первое неравенство: квадрат числа не может быть меньше нуля, решений нет \(\Rightarrow \emptyset\).
Второе неравенство: модуль числа не может быть меньше нуля, решений нет \(\Rightarrow \emptyset\).
Оба неравенства не имеют решений.
Ответ: равносильны.
