Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.5 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Равносильны ли неравенства:
1) x+3 > 6 и -4x < -12; 4) 1/x < 1 и x > 1;
2) (x+2)^2(x+1) < 0 и x+1 < 0; 5) x^2?x и x?1;
3) (x+2)^2(x+1)?0 и x+1?0; 6) (x+4)^2 < 0 и |x-2| < 0?
Равносильны ли неравенства:
1) x + 3 > 6 и –4x < –12; Первое неравенство: x + 3 > 6;
x > 3;
Второе неравенство:
–4x < –12 | : (–4); x > 3;
Ответ: равносильны.
2) (x + 2)²(x + 1) < 0 и x + 1 < 0;
Первое неравенство:
(x + 2)²(x + 1) < 0, x ≠ –2;
x + 1 < 0;
x < –1;
x ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; –1);
Второе неравенство:
x + 1 < 0;
x < –1;
Ответ: неравносильны.
3) (x + 2)²(x + 1) ≤ 0 и x + 1 ≤ 0;
Первое неравенство:
(x + 2)²(x + 1) ≤ 0, x = –2;
x + 1 ≤ 0;
x ≤ –1;
x ∈ (–∞; –1];
Второе неравенство:
x + 1 ≤ 0;
x ≤ –1;
Ответ: равносильны.
4) 1/x < 1 и x > 1;
Первое неравенство:
1/x < 1, x ≠ 0;
1/x – 1 < 0;
(1 – x)/x < 0;
(1 – x)x < 0; x(x – 1) > 0;
x < 0 или x > 1;
Ответ: неравносильны.
5) x² ≥ x и x ≤ 0 или x ≥ 1;
Первое неравенство:
x² ≥ x;
x² – x ≥ 0;
x(x – 1) ≥ 0;
x ≤ 0 или x ≥ 1;
Ответ: неравносильны.
6) (x + 4)² < 0 и |x – 2| < 0;
Первое неравенство:
(x + 4)² < 0;
x ∈ ∅;
Второе неравенство:
|x – 2| < 0;
x ∈ ∅;
Ответ: равносильны.
Равносильны ли неравенства:
1) x + 3 > 6 и –4x < –12; Первое неравенство: x + 3 > 6;
В данном неравенстве прибавляем к переменной x число 3 и результат сравниваем с 6. Чтобы решить неравенство, перенесём 3 в правую часть с противоположным знаком:
x + 3 > 6;
x > 6 – 3;
x > 3;
Таким образом, множество решений — все значения x, которые больше 3.
Второе неравенство:
–4x < –12;
Чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при x, разделим обе части неравенства на –4, не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
–4x < –12 | : (–4); x > 3;
Получили то же самое множество решений: x > 3.
Ответ: равносильны, так как оба неравенства имеют одинаковое множество решений: x > 3.
2) (x + 2)²(x + 1) < 0 и x + 1 < 0;
Первое неравенство:
(x + 2)²(x + 1) < 0, x ≠ –2; Рассмотрим выражение (x + 2)²(x + 1). Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть (x + 2)² ≥ 0, и равен 0 только при x = –2. Неравенство может быть выполнено только если (x + 2)² > 0 и (x + 1) < 0, при этом x ≠ –2.
(x + 1) < 0;
x < –1;
Учитываем ограничение x ≠ –2, так как при x = –2 выражение равно нулю, а не меньше нуля.
В итоге, x < –1, x ≠ –2, то есть x ∈ (–∞; –2) ∪ (–2; –1).
Второе неравенство:
x + 1 < 0;
x < –1; Решением является весь интервал x ∈ (–∞; –1). Ответ: неравносильны, потому что во втором неравенстве в решении присутствует значение x = –2, а в первом — нет. 3) (x + 2)²(x + 1) ≤ 0 и x + 1 ≤ 0; Первое неравенство: (x + 2)²(x + 1) ≤ 0, x = –2; Рассмотрим случаи: а) (x + 2)² = 0 ⇒ x = –2, при этом неравенство обращается в ноль, что допустимо по знаку ≤. б) (x + 2)² > 0 и (x + 1) < 0 — тогда выражение отрицательно.
То есть x + 1 ≤ 0, x ≤ –1.
В итоге, объединяя оба случая, получаем x ∈ (–∞; –1].
Второе неравенство:
x + 1 ≤ 0;
x ≤ –1;
Ответ: равносильны, так как решения совпадают и оба неравенства имеют множество x ∈ (–∞; –1].
4) 1/x < 1 и x > 1;
Первое неравенство:
1/x < 1, x ≠ 0;
Переносим 1 влево:
1/x – 1 < 0;
Приведём к общему знаменателю:
(1 – x)/x < 0; Это дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим два случая: а) 1 – x > 0 и x < 0 ⇒ x < 1 и x < 0 ⇒ x < 0;
б) 1 – x < 0 и x > 0 ⇒ x > 1 и x > 0 ⇒ x > 1.
То есть x < 0 или x > 1.
Второе неравенство:
x > 1;
Решение — все значения x, которые больше 1.
Ответ: неравносильны, потому что первое неравенство допускает также отрицательные значения x.
5) x² ≥ x и x ≤ 0 или x ≥ 1;
Первое неравенство:
x² ≥ x;
x² – x ≥ 0;
x(x – 1) ≥ 0;
Произведение двух выражений больше либо равно нулю, если оба множителя неотрицательны или оба неположительны:
а) x ≥ 0 и x – 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1;
б) x ≤ 0 и x – 1 ≤ 0 ⇒ x ≤ 0;
Объединяя: x ≤ 0 или x ≥ 1.
Второе неравенство:
x ≤ 0 или x ≥ 1;
Ответ: неравносильны, так как множества решений полностью не совпадают.
6) (x + 4)² < 0 и |x – 2| < 0;
Первое неравенство:
(x + 4)² < 0;
Квадрат любого выражения не может быть меньше нуля, следовательно, решений нет, x ∈ ∅.
Второе неравенство:
|x – 2| < 0;
Модуль любого числа всегда больше либо равен нулю, поэтому решений тоже нет, x ∈ ∅.
Ответ: равносильны, так как оба неравенства не имеют решений.
Алгебра
