ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) \(x^2 = x\) и \(x = 1\);

2) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(0x = 0\);

3) \(|x| = 1\) и \(x^3 = 1\);

4) \(\frac{x^2}{x — 6} = \frac{36}{x — 6}\) и \(x^2 = 36\);

5) \(x^2 = 4\) и \(x^2 -\frac{1}{x + 2} = 4 — \frac{1}{x + 2}\);

6) \(\frac{x^2 — 1}{x + 1} = 0\) и \(x^2 — 1 = 0\)?

Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) \(x^{2} = x\) и \(x = 1\);

Первое уравнение: \(x^{2} = x \Rightarrow x^{2} — x = 0 \Rightarrow x(x — 1) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0,\ x_{2} = 1\).

Второе уравнение: \(x = 1\).

Решение второго входит в множество решений первого.

Ответ: 1-е следствие 2-го.

2) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(0x = 0\);

Первое уравнение: \(\frac{x}{x} = 1,\ x \ne 0 \Rightarrow 1 = 1,\ x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

Второе уравнение: \(0x = 0 \Rightarrow x \in \mathbb{R}\).

Множество решений второго шире.

Ответ: 2-е следствие 1-го.

3) \(|x| = 1\) и \(x^{3} = 1\);

Первое уравнение: \(|x| = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).

Второе уравнение: \(x^{3} = 1 \Rightarrow x = \sqrt[3]{1} = 1\).

Решение второго входит в решения первого.

Ответ: 1-е следствие 2-го.

4) \(\frac{x^{2}}{x — 6} = \frac{36}{x — 6}\) и \(x^{2} = 36\);

Первое уравнение: \(\frac{x^{2}}{x — 6} = \frac{36}{x — 6},\ x \ne 6 \Rightarrow x^{2} = 36 \Rightarrow x = \pm 6\).

Второе уравнение: \(x^{2} = 36 \Rightarrow x = \pm 6\).

Второе имеет то же множество решений, но в первом есть ограничение \(x \ne 6\), поэтому решения второго входят в множество первого только частично.

Ответ: 2-е следствие 1-го.

5) \(x^{2} = 4\) и \(x^{2} — \frac{1}{x + 2} = 4 — \frac{1}{x + 2}\);

Первое уравнение: \(x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).

Второе уравнение: \(x^{2} — \frac{1}{x + 2} = 4 — \frac{1}{x + 2},\ x \ne -2 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\), но \(x = -2\) не подходит.

Решения второго входят в решения первого.

Ответ: 1-е следствие 2-го.

6) \(\frac{x^{2} — 1}{x + 1} = 0\) и \(x^{2} — 1 = 0\);

Первое уравнение: \(\frac{x^{2} — 1}{x + 1} = 0,\ x \ne -1 \Rightarrow x^{2} — 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\), но \(x \ne -1\), значит \(x = 1\).

Второе уравнение: \(x^{2} — 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1\).

Множество решений первого входит во множество решений второго.

Ответ: 2-е следствие 1-го.

Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) \(x^{2} = x\) и \(x = 1\);

Рассмотрим первое уравнение: переносим все члены в одну часть, получаем \(x^{2} — x = 0\). Разложим на множители: \(x(x — 1) = 0\). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, следовательно, \(x = 0\) или \(x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1\). Таким образом, множество решений первого уравнения: \(\{0; 1\}\).

Второе уравнение: \(x = 1\). Это равенство имеет единственное решение \(x = 1\).

Сравнение: каждое решение второго уравнения является решением первого, но не наоборот, так как \(x = 0\) не подходит ко второму.

Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.

2) \(\frac{x}{x} = 1\) и \(0x = 0\);

Первое уравнение: \(\frac{x}{x} = 1\). Для того чтобы выражение имело смысл, требуется условие \(x \ne 0\), так как делить на ноль нельзя. При любом \(x \ne 0\) получаем тождество \(1 = 1\), то есть множество решений: \(x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

Второе уравнение: \(0x = 0\). Это тождество выполняется для любого действительного числа \(x \in \mathbb{R}\).

Сравнение: каждое решение первого уравнения является решением второго, но второе уравнение имеет дополнительное решение \(x = 0\), которое в первое не входит из-за ограничения \(x \ne 0\).

Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.

3) \(|x| = 1\) и \(x^{3} = 1\);

Первое уравнение: \(|x| = 1\). Это означает, что \(x\) находится на расстоянии 1 от нуля, то есть \(x = 1\) или \(x = -1\).

Второе уравнение: \(x^{3} = 1\). Кубический корень из 1 равен 1, поэтому единственное решение: \(x = 1\).

Сравнение: решение второго уравнения \(x = 1\) удовлетворяет и первому уравнению, но первое уравнение имеет дополнительное решение \(x = -1\), которое не подходит ко второму.

Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.

4) \(\frac{x^{2}}{x — 6} = \frac{36}{x — 6}\) и \(x^{2} = 36\);

Первое уравнение: область определения — \(x \ne 6\). Умножаем обе части на \(x — 6\) (при \(x \ne 6\)), получаем \(x^{2} = 36\). Это даёт \(x = \pm 6\), но из условия \(x \ne 6\) исключаем \(x = 6\), остаётся \(x = -6\).

Второе уравнение: \(x^{2} = 36\), то есть \(x = \pm 6\).

Сравнение: все решения первого уравнения (\(x = -6\)) входят в решения второго, но второе имеет дополнительный корень \(x = 6\), который исключён в первом из-за ограничения области определения.

Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.

5) \(x^{2} = 4\) и \(x^{2} — \frac{1}{x + 2} = 4 — \frac{1}{x + 2}\);

Первое уравнение: \(x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2\).

Второе уравнение: условие \(x \ne -2\) (чтобы не делить на ноль). Сокращаем одинаковые слагаемые в обеих частях: \(x^{2} = 4\), откуда \(x = \pm 2\). Но из-за ограничения \(x \ne -2\) исключается корень \(x = -2\), остаётся только \(x = 2\).

Сравнение: решения второго (\(x = 2\)) входят в решения первого, но первое содержит дополнительный корень \(x = -2\).

Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.

6) \(\frac{x^{2} — 1}{x + 1} = 0\) и \(x^{2} — 1 = 0\);

Первое уравнение: область определения — \(x \ne -1\). Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \(x^{2} — 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1\). Но условие \(x \ne -1\) исключает этот корень, остаётся \(x = 1\).

Второе уравнение: \(x^{2} — 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1\).

Сравнение: решения первого (\(x = 1\)) входят в решения второго, но второе имеет дополнительное решение \(x = -1\), которое в первом запрещено из-за деления на ноль.

Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.