Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 4.7 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Какое из двух уравнений является следствием другого:
1) x^2=x и x=1; 4) x^2/(x-6)=36/(x-6) и x^2=36;
2) x/x=1 и 0x=0; 5) x^2=4 и x^2-1/(x+2)=4-1/(x+2);
3) |x|=1 и x^3=1; 6) (x^2-1)/(x+1)=0 и x^2-1=0?
Какое из двух уравнений является следствием другого:
1) x² = x и x = 1;
Первое уравнение:
x² = x;
x² – x = 0;
x(x – 1) = 0;
x₁ = 0 и x₂ = 1;
Ответ: 1-е следствие 2-го.
2) x/x = 1 и 0x = 0;
Первое уравнение:
x/x = 1, x ≠ 0;
1 = 1;
x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; +∞);
Второе уравнение:
0x = 0;
x ∈ ℝ;
Ответ: 2-е следствие 1-го.
3) |x| = 1 и x³ = 1;
Первое уравнение:
|x| = 1;
x = ±1;
Второе уравнение:
x³ = 1;
x = ∛1 = 1;
Ответ: 1-е следствие 2-го.
4) x²/(x – 6) = 36/(x – 6) и x² = 36;
Первое уравнение:
x²/(x – 6) = 36/(x – 6), x ≠ 6;
x² = 36;
x = ±√36 = ±6;
Второе уравнение:
x² = 36;
x = ±√36 = ±6;
Ответ: 2-е следствие 1-го.
5) x² = 4 и x² – 1/(x + 2) = 4 – 1/(x + 2);
Первое уравнение:
x² = 4;
x = ±√4 = ±2;
Второе уравнение:
x² – 1/(x + 2) = 4 – 1/(x + 2), x ≠ –2;
x² = 4;
x = ±√4 = ±2;
Ответ: 1-е следствие 2-го.
6) (x² – 1)/(x + 1) = 0 и x² – 1 = 0;
Первое уравнение:
(x² – 1)/(x + 1) = 0, x ≠ –1;
x² – 1 = 0;
x² = 1;
x = ±√1 = ±1;
Второе уравнение:
x² – 1 = 0;
x² = 1;
x = ±√1 = ±1;
Ответ: 2-е следствие 1-го.
Какое из двух уравнений является следствием другого:
1) x² = x и x = 1;
Первое уравнение:
x² = x;
Перенесём всё в одну сторону: x² – x = 0;
Распишем как произведение: x(x – 1) = 0;
Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю:
x = 0 или x – 1 = 0;
x₁ = 0, x₂ = 1;
То есть, решением уравнения x² = x являются числа 0 и 1.
Второе уравнение:
x = 1;
Единственный корень — x = 1.
Сравнивая множества решений, видим: любое решение второго уравнения (x = 1) будет также решением первого (x² = x), но не наоборот (x = 0 не решает x = 1).
Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.
2) x/x = 1 и 0x = 0;
Первое уравнение:
x/x = 1, x ≠ 0 (деление на ноль запрещено);
Для любого x ≠ 0 уравнение превращается в тождество: 1 = 1.
Значит, x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; +∞).
Второе уравнение:
0x = 0;
Это тождество для любого x ∈ ℝ.
Значит, любое значение x из первого уравнения подходит к второму, но второе содержит дополнительный корень x = 0.
Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.
3) |x| = 1 и x³ = 1;
Первое уравнение:
|x| = 1;
Это значит, что x = 1 или x = –1.
Второе уравнение:
x³ = 1;
Только одно решение: x = 1.
Проверим: любое решение второго (x = 1) подходит и к первому (|1| = 1). Но из первого уравнения (|x| = 1) получается x = 1 и x = –1, а x = –1 не подходит второму.
Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.
4) x²/(x – 6) = 36/(x – 6) и x² = 36;
Первое уравнение:
x²/(x – 6) = 36/(x – 6), x ≠ 6;
Домножим обе части на (x – 6) (при x ≠ 6):
x² = 36;
x = ±6, при этом x ≠ 6 (то есть x = –6).
Второе уравнение:
x² = 36;
x = ±6.
То есть первое уравнение решается только при x = –6, второе — при x = –6 и x = 6.
Каждое решение первого уравнения является решением второго, но не наоборот.
Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.
5) x² = 4 и x² – 1/(x + 2) = 4 – 1/(x + 2);
Первое уравнение:
x² = 4;
x = ±2.
Второе уравнение:
x² – 1/(x + 2) = 4 – 1/(x + 2), x ≠ –2;
Сократим одинаковые слагаемые: x² = 4;
x = ±2.
Условие x ≠ –2 не исключает ни одного из корней, так как –2² = 4, но –2 запрещён только из-за знаменателя.
Значит, множества решений совпадают, но решение второго уравнения обязательно даёт решение первого.
Ответ: 1-е уравнение является следствием 2-го.
6) (x² – 1)/(x + 1) = 0 и x² – 1 = 0;
Первое уравнение:
(x² – 1)/(x + 1) = 0, x ≠ –1;
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю:
x² – 1 = 0;
x² = 1;
x = ±1.
Второе уравнение:
x² – 1 = 0;
x² = 1;
x = ±1.
В первом уравнении x ≠ –1, а во втором — нет ограничений. Значит, второе содержит на один корень больше: x = –1. В первом случае x = –1 нельзя использовать, так как знаменатель обращается в ноль.
Ответ: 2-е уравнение является следствием 1-го.
Алгебра
