ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.11 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(x^2(x + 1)(x — 4) > 0\);

2) \(\left| x + 2 \right|(x — 3)(x — 5) ≥ 0\).

Решить неравенство:

1) x²(x + 1)(x – 4) > 0;
Первое выражение:
x² ≥ 0;
x = 0;
Неравенство:
(x + 1)(x – 4) > 0;
x < –1 или x > 4;
Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ (4; +∞).

2) |x + 2|(x – 3)(x – 5) ≥ 0;
Первое выражение:
|x + 2| ≥ 0;
x + 2 = 0 => x = –2;
Неравенство:
(x – 3)(x – 5) ≥ 0;
x ≤ 3 или x ≥ 5;
Ответ: x ∈ (–∞; 3] ∪ [5; +∞).

Решить неравенство:

1) x²(x + 1)(x – 4) > 0;
Первое выражение:
x² ≥ 0.
Это выражение всегда выполняется, так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Таким образом, x² всегда положительно или равно нулю.
Из этого следует, что x = 0.
Теперь решим неравенство:
(x + 1)(x – 4) > 0.
Это неравенство можно решить методом анализа знаков произведения. Рассмотрим знаки на интервалах, определённых корнями выражения:
— Когда x < –1, оба множителя (x + 1) и (x – 4) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (–1; 4), (x + 1) положительный, а (x – 4) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 4, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.

Таким образом, решение: x ∈ (–∞; –1) ∪ (4; +∞).

Ответ: x ∈ (–∞; –1) ∪ (4; +∞).

2) |x + 2|(x – 3)(x – 5) ≥ 0;
Первое выражение:
|x + 2| ≥ 0.
Абсолютное значение любого числа всегда больше или равно нулю, следовательно, |x + 2| всегда ≥ 0.
Из этого следует, что x + 2 = 0, значит x = –2.
Неравенство:
(x – 3)(x – 5) ≥ 0.
Теперь рассмотрим знаки произведения:
— Когда x < 3, оба множителя (x – 3) и (x – 5) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда x ∈ (3; 5), (x – 3) положительный, а (x – 5) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда x > 5, оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.

Таким образом, решение: x ≤ 3 или x ≥ 5.

Ответ: x ∈ (–∞; 3] ∪ [5; +∞).