Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.12 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \(\frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} > 0\);
2) \(\frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} ≥ 0\);
3) \(\frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} < 0\);
4) \(\frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} ≤ 0\);
5) \(\frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} > 0\);
6) \(\frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} ≥ 0\);
7) \(\frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} < 0\);
8) \(\frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} ≤ 0\);
Решить неравенство:
1) \( x^2(x + 1)(x — 4) > 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 \ge 0 \);
\( x = 0 \);
Неравенство:
\( (x + 1)(x — 4) > 0 \);
\( x < -1 \) или \( x > 4 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) \).
2) \( |x + 2|(x — 3)(x — 5) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( |x + 2| \ge 0 \);
\( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \);
Неравенство:
\( (x — 3)(x — 5) \ge 0 \);
\( x \le 3 \) или \( x \ge 5 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -5 ] \cup [4; +\infty) \).
3) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} > 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \);
\( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
Неравенство:
\( (x — 4)(x — 5) < 0 \);
\( -5 < x < 4 \);
Ответ: \( x \in (-5; 3) \cup (3; 4) \).
4) \( \frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} \le 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 + x — 20 = (x — 4)(x + 5) \le 0 \);
\( x \le 4 \) или \( x \ge -5 \);
Неравенство:
\( (x + 6)(x — 3) \ge 0 \);
\( x \le -6 \) или \( x \ge 3 \);
Ответ: \( x \in (-5; 3] \cup [3; +4) \).
5) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} < 0 \); Первое выражение: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \); \( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) < 0 \);
\( -5 < x < 4 \); Ответ: \( x \in (-\infty; -4). \cup [2; +\infty) \).
6) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} \ge 0 \); Первое выражение: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \); \( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) \ge 0 \);
\( x \le -4 \) или \( x \ge 5 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup \{1\} \cup [2; +\infty) \).
7) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} < 0 \); Первое выражение: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \); \( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) < 0 \);
\( -5 < x < 4 \);
Ответ: \( x \in (-4; 1] \cup [1; +2) \).
8) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} \le 0 \); Первое выражение: \( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \); \( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \);
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) \le 0 \);
\( x \le -4 \) или \( x \ge 5 \);
Ответ: \( x \in (-4; 2] \).
Решить неравенство:
1) \( x^2(x + 1)(x — 4) > 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 \ge 0 \).
Это выражение всегда выполняется, так как квадрат любого числа всегда больше либо равен нулю. Следовательно, \( x^2 \) всегда неотрицательно.
Неравенство:
\( (x + 1)(x — 4) > 0 \).
Для решения этого неравенства, мы анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -1 \), оба множителя \( (x + 1) \) и \( (x — 4) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-1; 4) \), \( (x + 1) \) положительный, а \( (x — 4) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 4 \), оба множителя \( (x + 1) \) и \( (x — 4) \) будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (4; +\infty) \).
2) \( |x + 2|(x — 3)(x — 5) \ge 0 \);
Первое выражение:
\( |x + 2| \ge 0 \).
Это выражение всегда выполняется, так как абсолютное значение любого числа всегда неотрицательно.
Неравенство:
\( (x — 3)(x — 5) \ge 0 \).
Для решения этого неравенства, мы анализируем знак произведения:
— Когда \( x < 3 \), оба множителя \( (x — 3) \) и \( (x — 5) \) будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (3; 5) \), \( (x — 3) \) положительный, а \( (x — 5) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя \( (x — 3) \) и \( (x — 5) \) будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-\infty; 3] \cup [5; +\infty) \).
Ответ: \( x \in (-\infty; -5 ] \cup [4; +\infty) \).
3) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} > 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \).
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, это выражение всегда выполняется, и \( x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Неравенство:
\( (x — 4)(x — 5) < 0 \).
Для решения этого неравенства анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -5 \), оба множителя будут отрицательными, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-5; 3) \), \( (x — 4) \) отрицательный, а \( (x — 5) \) положительный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 3 \), оба множителя \( (x — 4) \) и \( (x — 5) \) будут положительными, и произведение будет положительным.
Таким образом, решение: \( x \in (-5; 3) \cup (3; 4) \).
Ответ: \( x \in (-5; 3) \cup (3; 4) \).
4) \( \frac{x^2 + x — 20}{x^2 — 6x + 9} \le 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 + x — 20 = (x — 4)(x + 5) \le 0 \).
Мы решаем неравенство:
— Когда \( x \le -5 \), оба множителя \( (x — 4) \) и \( (x + 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным.
— Когда \( x \in [-5; 4] \), \( (x — 4) \) отрицательный, а \( (x + 5) \) положительный, и произведение будет отрицательным.
— Когда \( x > 4 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Ответ: \( x \in (-5; 3] \cup [3; +4) \).
5) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} < 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \).
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, это выражение всегда выполняется.
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) < 0 \).
Для решения этого неравенства анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -4 \), оба множителя \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-4; 5) \), \( (x + 4) \) положительный, а \( (x — 5) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Ответ: \( x \in (-\infty; -4). \cup [2; +\infty) \).
6) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} \ge 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \).
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, это выражение всегда выполняется.
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) \ge 0 \).
Для решения этого неравенства анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -4 \), оба множителя \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in [-4; 5] \), \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) будут противоположными по знаку, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup \{1\} \cup [2; +\infty) \).
7) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} < 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \).
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, это выражение всегда выполняется.
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) < 0 \).
Для решения этого неравенства анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -4 \), оба множителя \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in (-4; 5) \), \( (x + 4) \) положительный, а \( (x — 5) \) отрицательный, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Ответ: \( x \in (-4; 1] \cup [1; +2) \).
8) \( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 2x — 8} \le 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \ge 0 \).
Так как квадрат любого числа всегда больше или равен нулю, это выражение всегда выполняется.
Неравенство:
\( (x + 4)(x — 5) \le 0 \).
Для решения этого неравенства анализируем знак произведения:
— Когда \( x < -4 \), оба множителя \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) отрицательные, и произведение будет положительным. — Когда \( x \in [-4; 5] \), \( (x + 4) \) и \( (x — 5) \) будут противоположными по знаку, и произведение будет отрицательным. — Когда \( x > 5 \), оба множителя будут положительными, и произведение будет положительным.
Ответ: \( x \in (-4; 2] \).
