Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 5} \geq \frac{28}{x — 5} \);
2) \( \frac{1}{x} < 1 \);
3) \( \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} \);
4) \( \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x — 3} \);
5) \( \frac{2}{x} — \frac{1}{x — 1} > 1 \);
6) \( \frac{x — 3}{x + 3} \leq \frac{2x — 5}{4x — 3} \).
Решить неравенство:
1) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 5} \ge \frac{28}{x — 5} \);
\( \frac{x^2 + 3x — 28}{x — 5} \ge 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 + 3x — 28 = 0 \);
\( D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4 \);
Неравенство:
\( \frac{(x + 7)(x — 4)}{x — 5} \ge 0 \);
\( (x + 7)(x — 4)(x — 5) \ge 0 \);
Ответ: \( x \in [-7; 4] \cup (5; +\infty) \).
2) \( \frac{1}{x} < 1 \);
\( \frac{1 — x}{x} < 0 \);
\( x(1 — x) < 0 \); \( x(x — 1) > 0 \);
\( x < 0 \) или \( x > 1 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty) \).
3) \( \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} \);
\( \frac{x}{x + 3} — \frac{1}{2} > 0 \);
\( \frac{2x — (x + 3)}{2(x + 3)} > 0 \);
\( \frac{x — 3}{x + 3} > 0 \);
\( (x + 3)(x — 3) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) \).
4) \( \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x — 3} \); \( \frac{3}{x — 3} — \frac{1}{x + 2} > 0 \);
\( \frac{3(x + 2) — (x — 3)}{(x + 2)(x — 3)} > 0 \);
\( \frac{2x + 9}{(x + 2)(x — 3)} > 0 \);
\( (x + 4{,}5)(x + 2)(x — 3) > 0 \);
Ответ: \( x \in (-4{,}5; -2) \cup (3; +\infty) \).
5) \( \frac{2}{x} — \frac{1}{x — 1} > 1 \);
\( \frac{2}{x} — \frac{1}{x — 1} — 1 < 0 \);
\( x(x — 1) + 2 < 0 \); \( x(x — 1) > 0 \);
Ответ: \( x \in (0; 1) \).
6) \( \frac{x — 3}{x + 3} \le \frac{2x — 5}{4x — 3} \);
\( \frac{x — 3}{x + 3} — \frac{2x — 5}{4x — 3} \le 0 \);
\( \frac{(4x — 3)(x — 3) — (2x — 5)(x + 3)}{(x + 3)(4x — 3)} \le 0 \);
\( \frac{4x^2 — 3x — 12x + 9 — (2x^2 — 5x + 6x — 15)}{(x + 3)(4x — 3)} \le 0 \);
\( \frac{2x^2 — 16x + 24}{x(x — 0{,}75)} \le 0 \);
Ответ: \( x \in (-3; 0{,}75) \cup [2; 6] \).
Решить неравенство:
1) \( \frac{x^2 + 3x}{x — 5} \ge \frac{28}{x — 5} \);
\( \frac{x^2 + 3x — 28}{x — 5} \ge 0 \);
Первое выражение:
\( x^2 + 3x — 28 = 0 \);
\( D = 3^2 + 4 \cdot 28 = 9 + 112 = 121 \), тогда:
\( x_1 = \frac{-3 — 11}{2} = -7 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 11}{2} = 4 \);
Неравенство:
\( \frac{(x + 7)(x — 4)}{x — 5} \ge 0 \);
Для определения знака выражения на разных промежутках, делим ось чисел на интервалы, которые зависят от корней: \( x = -7 \), \( x = 4 \), \( x = 5 \). Рассмотрим знаки на этих интервалах.
– На промежутке \( (-\infty;\,-7) \) все множители будут отрицательными, произведение также будет положительным.
– На промежутке \( (-7;\,4) \) знак будет отрицательным.
– На промежутке \( (4;\,5) \) знак снова станет положительным.
– На промежутке \( (5;\,+\infty) \) все множители положительны, произведение положительно.
Ответ: \( x \in [-7;\,4] \cup (5;\,+\infty) \).
2) \( \frac{1}{x} < 1 \);
\( \frac{1 — x}{x} < 0 \);
\( x(1 — x) < 0 \); Решаем неравенство \( x(x — 1) > 0 \):
– Это неравенство верно на промежутках \( (-\infty;\,0) \) и \( (1;\,+\infty) \), так как произведение двух чисел будет положительным, если оба числа отрицательны или оба положительны.
Ответ: \( x \in (-\infty;\,0) \cup (1;\,+\infty) \).
3) \( \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} \);
\( \frac{x}{x + 3} — \frac{1}{2} > 0 \);
\( \frac{2x — (x + 3)}{2(x + 3)} > 0 \);
\( \frac{x — 3}{x + 3} > 0 \);
Здесь выражение будет положительным на промежутке, где оба множителя \( (x + 3) \) и \( (x — 3) \) имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим интервалы, разделенные точками \( x = -3 \) и \( x = 3 \):
– На промежутке \( (-\infty;\,-3) \) оба множителя отрицательные, произведение положительное.
– На промежутке \( (-3;\,3) \) знак выражения отрицательный.
– На промежутке \( (3;\,+\infty) \) оба множителя положительные, произведение положительное.
Ответ: \( x \in (-\infty;\,-3) \cup (3;\,+\infty) \).
4) \( \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x — 3} \); \( \frac{3}{x — 3} — \frac{1}{x + 2} > 0 \);
\( \frac{3(x + 2) — (x — 3)}{(x + 2)(x — 3)} > 0 \);
\( \frac{2x + 9}{(x + 2)(x — 3)} > 0 \);
Рассмотрим неравенство, разделенное на множители. Ответ зависит от знаков каждого из множителей. Мы должны найти интервалы, на которых выражение будет положительным:
– При \( x < -4{,}5 \), все множители отрицательны, произведение положительное.
– При \( -4{,}5 < x < -2 \), два множителя отрицательны, результат положительный.
– При \( x > 3 \), все множители положительные.
Ответ: \( x \in (-4{,}5;\,-2) \cup (3;\,+\infty) \).
5) \( \frac{2}{x} — \frac{1}{x — 1} > 1 \);
\( \frac{2}{x} — \frac{1}{x — 1} — 1 < 0 \);
\( x(x — 1) + 2 < 0 \); \( x(x — 1) > 0 \);
Решаем неравенство \( x(x — 1) > 0 \):
– Для этого неравенства решение на интервалах \( (-\infty;\,0) \) и \( (1;\,+\infty) \), так как произведение двух чисел будет положительным на этих интервалах.
Ответ: \( x \in (0;\,1) \).
6) \( \frac{x — 3}{x + 3} \le \frac{2x — 5}{4x — 3} \);
\( \frac{x — 3}{x + 3} — \frac{2x — 5}{4x — 3} \le 0 \);
\( \frac{(4x^2 — 3x — 12x + 9) — (2x^2 — 5x + 6x — 15)}{(x + 3)(4x — 3)} \le 0 \);
\( \frac{2x^2 — 16x + 24}{x(x — 0{,}75)} \le 0 \);
Мы решаем это неравенство методом анализа знаков выражения:
– При \( x < -3 \), выражение отрицательно.
– При \( -3 < x < 0 \), выражение положительное.
– При \( x > 0 \), выражение снова становится отрицательным.
Ответ: \( x \in (-3;\,0{,}75) \cup [2;\,6] \).
