Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 5.13 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Решите неравенство:
1) (x^2+3x)/(x-5) ≥ 28/(x-5);
2) 1/x < 1;
3) x/(x+3) > 1/2;
4) 1/(x+2) < 3/(x-3);
5) 2/x-1/(x-1) > 1;
6) (x-3)/(x+3) ≤ (2x-5)/(4x-3).
Решить неравенство:
1)
x² + 3x / x — 5 ≥ 28 / x — 5;
x² + 3x — 28 / x — 5 ≥ 0;
Первое выражение:
x² + 3x — 28 = 0;
D = 3² + 4 * 28 = 9 + 112 = 121, тогда:
x₁ = (-3 — 11) / 2 = -7 и x₂ = (-3 + 11) / 2 = 4;
Неравенство:
(x + 7)(x — 4) / (x — 5) ≥ 0;
(x + 7)(x — 4)(x — 5) ≥ 0;
Ответ: x ∈ [-7; 4] ∪ (5; +∞).
2)
1 / x < 1;
1 — x / x < 0;
x(1 — x) < 0; x(x — 1) > 0;
x < 0 или x > 1;
Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞).
3)
x / x + 3 > 1 / 2;
x / x + 3 — 1 / 2 > 0;
2x — (x + 3) / (2(x + 3)) > 0;
(x — 3) / (x + 3) > 0;
(x + 3)(x — 3) > 0;
Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞).
4)
1 / x + 2 < 3 / x — 3; 3 / x — 3 — 1 / x + 2 > 0;
3(x + 2) — (x — 3) / (x + 2)(x — 3) > 0;
2x + 9 / (x + 2)(x — 3) > 0;
(x + 4,5)(x + 2)(x — 3) > 0;
Ответ: x ∈ (-4,5; -2) ∪ (3; +∞).
5)
2 / x — 1 / x — 1 > 1;
2 / x — 1 / x — 1 — 1 < 0;
x(x — 1) + 2 < 0; x(x — 1) > 0;
Ответ: x ∈ (0; 1).
6)
x — 3 / x + 3 ≤ 2x — 5 / 4x — 3;
x — 3 / x + 3 — 2x — 5 / 4x — 3 ≤ 0;
(4x² — 3x — 12x + 9) — (2x² — 5x + 6x — 15) / (x + 3)(4x — 3) ≤ 0;
2x² — 16x + 24 / (x)(x — 0,75) ≤ 0;
Ответ: x ∈ (-3; 0,75) ∪ [2; 6].
Решить неравенство:
1)
x² + 3x / x — 5 ≥ 28 / x — 5;
x² + 3x — 28 / x — 5 ≥ 0;
Первое выражение:
x² + 3x — 28 = 0;
D = 3² + 4 * 28 = 9 + 112 = 121, тогда:
x₁ = (-3 — 11) / 2 = -7 и x₂ = (-3 + 11) / 2 = 4;
Неравенство:
(x + 7)(x — 4) / (x — 5) ≥ 0;
Для определения знака выражения на разных промежутках, делим ось чисел на интервалы, которые зависят от корней: x = -7, x = 4, x = 5. Рассмотрим знаки на этих интервалах.
— На промежутке (-∞; -7) все множители будут отрицательными, произведение также будет положительным.
— На промежутке (-7; 4) знак будет отрицательным.
— На промежутке (4; 5) знак снова станет положительным.
— На промежутке (5; +∞) все множители положительны, произведение положительно.
Ответ: x ∈ [-7; 4] ∪ (5; +∞).
2)
1 / x < 1;
1 — x / x < 0;
x(1 — x) < 0; Решаем неравенство x(x — 1) > 0:
— Это неравенство верно на промежутках (-∞; 0) и (1; +∞), так как произведение двух чисел будет положительным, если оба числа отрицательны или оба положительны.
Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞).
3)
x / x + 3 > 1 / 2;
x / x + 3 — 1 / 2 > 0;
2x — (x + 3) / 2(x + 3) > 0;
(x — 3) / (x + 3) > 0;
Здесь выражение будет положительным на промежутке, где оба множителя (x + 3) и (x — 3) имеют одинаковые знаки.
Рассмотрим интервалы, разделенные точками x = -3 и x = 3:
— На промежутке (-∞; -3) оба множителя отрицательные, произведение положительное.
— На промежутке (-3; 3) знак выражения отрицательный.
— На промежутке (3; +∞) оба множителя положительные, произведение положительное.
Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞).
4)
1 / x + 2 < 3 / x — 3; 3 / x — 3 — 1 / x + 2 > 0;
3(x + 2) — (x — 3) / (x + 2)(x — 3) > 0;
2x + 9 / (x + 2)(x — 3) > 0;
Рассмотрим неравенство, разделенное на множители. Ответ зависит от знаков каждого из множителей. Мы должны найти интервалы, на которых выражение будет положительным:
— При x < -4,5, все множители отрицательны, произведение положительное.
— При -4,5 < x < -2, два множителя отрицательны, результат положительный. — При x > 3, все множители положительные.
Ответ: x ∈ (-4,5; -2) ∪ (3; +∞).
5)
2 / x — 1 / x — 1 > 1;
2 / x — 1 / x — 1 — 1 < 0;
x(x — 1) + 2 < 0; x(x — 1) > 0;
Решаем неравенство x(x — 1) > 0:
— Для этого неравенства решение на интервалах (-∞; 0) и (1; +∞), так как произведение двух чисел будет положительным на этих интервалах.
Ответ: x ∈ (0; 1).
6)
x — 3 / x + 3 ≤ 2x — 5 / 4x — 3;
x — 3 / x + 3 — 2x — 5 / 4x — 3 ≤ 0;
(4x² — 3x — 12x + 9) — (2x² — 5x + 6x — 15) / (x + 3)(4x — 3) ≤ 0;
2x² — 16x + 24 / (x)(x — 0,75) ≤ 0;
Мы решаем это неравенство методом анализа знаков выражения:
— При x < -3, выражение отрицательно.
— При -3 < x < 0, выражение положительное. — При x > 0, выражение снова становится отрицательным.
Ответ: x ∈ (-3; 0,75) ∪ [2; 6].
Алгебра
